Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，AB=BC，將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAE，連接CE，過點B作BG⊥CE于點F，交AD于點G.

(1)如圖1，CD=AB.

①求證：四邊形ABCD是正方形；

②求證：G是AD中點；

(2)如圖2，若CD<AB，請判斷G是否仍然是AD的中點?若是，請證明：若不是，請說理由.

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)是，證明見解析.

【解析】

（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=BC，進而得到AB與CD平行且相等，判定四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等及有一個內(nèi)角是90°，判定其為正方形.

②設(shè)AB與EC交于P點，證△PAE≌△PBC≌△GAB，即可證明.

（2）延長CD、BG，相交于點M，延長EA交CM于點N.證△BCM≌△CNE與△ABG≌△DMG即可得證.

(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AB=BC

∵CD=AB

∴AB=BC=CD

又∵CD∥AB，

∴四邊形ABCD是平行四邊形

因為∠ABC=90°，AB=BC

∴平行四邊形ABCD是正方形.

②設(shè)AB與EC交于P點，

∵BG⊥CE，∠ABC=90°，

∴∠PCB+∠BPC=90°，∠ABG+∠BPC=90°

∴∠PCB=∠ABG

又∵BC=AB,∠ABC=∠BAG=90°

∴△PBC≌△GAB

∴AG=AP

又∵AE=BC,∠ABC=∠EAB=90°,ED∥BC

∴∠BCP=∠AEP

∴△PAE≌△PBC

∴AP=PB= AB

∴AG=AD

即G是AD中點

（2）G仍然是AD的中點；

證明：延長CD、BG，相交于點M，延長EA交CM于點N.

由旋轉(zhuǎn)可知，

AB⊥EN，AE＝CD

∴四邊形ABCN是正方形.

∴AN＝CN＝BC，AN⊥CM

易證：△BCM≌△CNE

∴CM＝NE, CM－CD＝NE－AE，即：DM＝AN

∴AB＝AN＝DM.

∴△ABG≌△DMG

∴AG＝DG.