Question

（2012•峨邊縣模擬）如圖，A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），N（a+2，0），當(dāng)四邊形ABNP的周長最小時(shí)，a=

7

4

．

Answer 1

分析：由于四邊形ABNP的周長=PA+AB+BN+PN，而AB與PN的長都是定值，所以只需PA+BN最小．為此，把B點(diǎn)向左平移2個(gè)單位到B′點(diǎn)；作B′關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B″，連接AB″，交x軸于P，進(jìn)而確定N點(diǎn)的位置，此時(shí)PA+NB最短．再求a的值．

解答：解：點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位到B′（2，-1），作B′關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B″，根據(jù)作法知點(diǎn)B″（2，1），連接AB″，交x軸于P，將點(diǎn)P向右平移2個(gè)單位即為點(diǎn)N．
設(shè)直線AB″的解析式為y=kx+b，
則

k+b=-3 2k+b=1

，
解得

k=4 b=-7

．
∴y=4x-7．
當(dāng)y=0時(shí)，x=

7

4

，
即P（

7

4

，0），a=

7

4

故答案為：

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，將兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，從而利用兩點(diǎn)之間線段最短的知識解決問題是解決此類問題的關(guān)鍵．