Question

【題目】如圖，已知，點在射線上，點…在射線上，、、…均為等邊三角形，分別連接，連接….若，從左往右的陰影面積依次記作.則=______.

Answer 1

【答案】

【解析】

易證∠A1OB1=∠A1B1O=30°，從而可得B1A=OA1=a，同理可得A2B2=OA2=2a，B3A3=OA3=4a，…，從而歸納得到BnAn=2n-1a，即可得到S正△AnBnAn+1=BnAn2=4n-2a2．易證A1B1∥A2B2，從而可得△A1B1C1∽△B2A2C1，根據相似三角形的性質可得==，根據合比性質可得=，根據兩個三角形高相等時面積比等于底的比可得S1=S△A1B1A2，同理可得Sn=S△AnBnAn+1，由此就可求出Sn．

∵△A1B1A2是等邊三角形,∴∠B1A1A2=60°.
∵∠MON=30°,∴∠OB1A1=60°30°=30°，
∴∠A1OB1=∠A1B1O,∴B1A=OA1=a.
同理：A2B2=OA2=2a,B3A3=OA3=4a，…
BnAn=2n1a，
∴S正△AnBnAn+1=BnAn2= (2n1a)2.
=22n2a2=4n1a2=4n2a2
∵△A1B1A2、△A2B2A3為等邊三角形，
∴∠B1A1A2=∠B2/span>A2A3=60°，
∴A1B1∥A2B2，
∴△A1B1C1∽△B2A2C1，
∴==，
∴=，
∴=,即S1=S△A1B1A2.
同理可得Sn=S△AnBnAn+1=4n2a2=
故答案為.