Question

（2010•李滄區(qū)二模）如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA⊥CO，CB∥OA，OA=CO=4，BC=3．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度向A運(yùn)動；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向C運(yùn)動．其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)N作NP⊥AO于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ、BQ．
（1）求△AQM的面積S與運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，S_△BCQ：S_△AQM=3：2？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）經(jīng)過t秒時(shí)可得NB=y，OM-2t．根據(jù)∠BCA=∠MAQ=45°推出QN=CN，PQ的值．再根據(jù)三角形面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）用含t的式子先表示出S_△BCQ，S_△AQM，然后根據(jù)兩者之比為3：2可得出t的值．
（3）本題分兩種情況討論（若∠AQM=90°，PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高；若∠QMA=90°，QM與QP重合）求出t值．

解答：解：（1）經(jīng)過t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∵∠BCA=∠MAQ=45°，
∴QN=CN=3-t，
∴PQ=1+t，
∴S_△AMQ=

1

2

AM•PQ=

1

2

（4-2t）（1+t）=-t²+t+2．

（2）由題意得，CN=NQ=3-t，QP=1+t，AM=4-2t，
∴S_△BCQ=

1

2

×3（3-t），S_△AQM=

1

2

（4-2t）（1+t），
又∵S_△BCQ：S_△AQM=3：2，即3（3-t）：（4-2t）（1+t）=3：2，
解得：t=1，
即當(dāng)t=1時(shí)，S_△BCQ：S_△AQM=3：2．

（3）存在．
設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，
則CN=3-t，AM=4-2t，
∴∠BCA=∠MAQ=45°，
①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高，
∴PQ是底邊MA的中線，
∴PQ=AP=

1

2

MA，
∴1+t=

1

2

（4-2t），
解得：t=

1

2

．
②若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合，
∴QM=QP=MA，
∴1+t=4-2t
∴t=1．

點(diǎn)評：此題考查了直角梯形、直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定及性質(zhì)，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，對于此類動點(diǎn)型題目，首先要確定符合題意的條件下動點(diǎn)所在的位置，然后用時(shí)間t表示出有關(guān)線段的長度，進(jìn)而建立關(guān)于線段的關(guān)系式，難度較大．