Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E為CD上一點，將△BCE沿BE翻折后點C恰好落在AD邊上的點F處，過F作FH⊥BC于H，交BE于G，連接CG．

（1）求證：四邊形CEFG是菱形；

（2）若AB=8，BC=10，求四邊形CEFG的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）20.

【解析】

（1）根據翻折的性質可得∠1=∠2，EC=EF，再根據同角的余角相等求出∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，根據同位角相等，兩直線平行可得EF∥CG，再根據垂直于同一直線的兩直線平行求出FG∥CD，從而求出四邊形CEFG是平行四邊形，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明；

（2）根據翻折的性質可得BF=BC=10，然后利用勾股定理列式求出AF，從而得到DF的長，設CE=EF=x，表示出DE，在Rt△DEF中，利用勾股定理列出方程求出x的值，再根據菱形的面積公式列式計算即可得解．

（1）證明：根據翻折，∠1=∠2，EC=EF，

∵FH⊥BC，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠1+∠4=∠BCD=90°，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴EF∥CG，

又∵FH⊥BC，∠BCD=90°，

∴FG∥CD，

∴四邊形CEFG是平行四邊形，

∵EC=EF（已證），

∴四邊形CEFG是菱形；

（2）解：根據翻折，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，AF==6，

∴DF=AD-AF=10-6=4，

設CE=EF=x，則DE=CD-CE=8-x，

在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，

即42+（8-x）2=x2，

解得x=5，

所以，四邊形CEFG的面積=CEDF=5×4=20．