Question

【題目】根據(jù)要求回答問題

（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．
當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為（用含a，b的式子表示）
（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長(zhǎng)線上；a+b
（2）

解：①CD=BE，

理由：∵△ABD與△ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD與△EAB中， ，

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=BE；

②∵線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，

由（1）知，當(dāng)線段CD的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，

∴最大值為BD+BC=AB+BC=4

（3）

解：

連接BM，將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△PBN，連接AN，

則△APN是等腰直角三角形，

∴PN=PA=2，BN=AM，

∵A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），

∴OA=2，OB=5，

∴AB=3，

∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段BN長(zhǎng)的最大值，

∴當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，

最大值=AB+AN，

∵AN= AP=2 ，

∴最大值為2 +3；

如圖2，過P作PE⊥x軸于E，

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE=AE= ，

∴OE=BO﹣ ﹣3=2﹣ ，

∴P（2﹣ ， ）

【解析】解：（1）
∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，
∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
所以答案是：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．