【題目】已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BC=10,cos∠ACB=,點E在對角線AC上(不與點A、C重合),∠EDC=∠ACB,DE的延長線與射線CB交于點F,設AD的長為x.
(1)如圖1,當DF⊥BC時,求AD的長;
(2)設EC=y,求y關于x的函數解析式,并直接寫出定義域;
(3)當△DFC是等腰三角形時,求AD的長.
【答案】(1)AD=;(2)y=x2﹣x+10(0<x≤10);(3)AD的長為6和.
【解析】
(1)證明△ADC∽△DCE,利用ACCE=CD2=DF2+FC2=36+16a2=105a,即可求解;
(2)過點C作CH⊥AD交AD的延長線于點H,CD2=CH2+DH2=(ACsinα)2+(ACcosα﹣x)2,即可求解;
(3)分DF=DC、FC=DC、FC=FD三種情況,求解即可.
(1)設∠ACB=∠EDC=∠α=∠CAD,
∵cosα=,
∴sinα=,
過點A作AH⊥BC交于點H,
AH=ACsinα=6=DF,BH=2,
如圖1,設:FC=4a,
∴cos∠ACB=,則EF=3a,EC=5a,
∵∠EDC=∠α=∠CAD,∠ACD=∠ACD,
∴△ADC∽△DCE,
∴ACCE=CD2=DF2+FC2=36+16a2=105a,
解得:a=2或(舍去a=2),
AD=HF=10﹣2﹣4a=;
(2)過點C作CH⊥AD交AD的延長線于點H,
CD2=CH2+DH2=(ACsinα)2+(ACcosα﹣x)2,
即:CD2=36+(8﹣x)2,
由(1)得:ACCE=CD2,
即:y=x2﹣x+10(0<x≤10)…①,
(3)①當DF=DC時,
∵∠ECF=∠FDC=α,∠DFC=∠DFC,
∴△DFC∽△CFE,∵DF=DC,
∴FC=EC=y,∴x+y=10,
即:10=x2﹣x+10+x,
解得:x=6;
②當FC=DC,
則∠DFC=∠FDC=α,
則:EF=EC=y,DE=AE=10﹣y,
在等腰△ADE中,cos∠DAE=cosα=,
即:5x+8y=80,
將上式代入①式并解得:x=;
③當FC=FD,
則∠FCD=∠FDC=α,而∠ECF=α≠∠FCD,不成立,
故:該情況不存在;
故:AD的長為6和.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于點D,O是BC上一點,經過C、D兩點的⊙O分別交AC、BC于點E、F,AD=,∠ADC=60°,則劣弧的長為_____.
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【題目】如圖,拋物線C1:y=x2﹣2x與拋物線C2:y=ax2+bx開口大小相同、方向相反,它們相交于O,C兩點,且分別與x軸的正半軸交于點B,點A,OA=2OB.
(1)求拋物線C2的解析式;
(2)在拋物線C2的對稱軸上是否存在點P,使PA+PC的值最?若存在,求出點P的坐標,若不存在,說明理由;
(3)M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點,連接MO,MC,M運動到什么位置時,△MOC面積最大?并求出最大面積.
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【題目】如圖,正方形網格中的每個小正方形的邊長都為1,每個小正方形的頂點叫格點.請完成如圖所示的畫圖,要求:①僅用無刻度的直尺,②不寫畫法,保留必要的畫圖痕跡.
(1)在圖1中畫出一條長為的線段MN(M,N分別為格點)
(2)在圖2中畫出一個以格點為頂點,以AB為一邊的正方形ABCD;
(3)在圖3中,E,F分別為格點,畫出線段EF的垂直平分線l.
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【題目】七年級教師對試卷講評課中學生參與的深度與廣度進行評價調查,其評價項目為主動質疑、獨立思考、專注聽講、講解題目四項:評價組隨機抽取了若干名初中學生的參與情況,繪制成如圖所示的頻數分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖(均不完整),請根據圖中所給信息解答下列問題:
(1)在這次評價中,一共抽查了________名學生;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,項目“主動質疑”所在的扇形的圓心角的度數為________度;
(3)請將頻數分布直方圖補充完整;
(4)如果全市有8600名七年級學生,那么在試卷評講課中,“獨立思考”的七年級學生約有多少人?
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【題目】某品牌牛奶供應商提供A,B,C,D四種不同口味的牛奶供學生飲用.某校為了了解學生對不同口味的牛奶的喜好,對全校訂牛奶的學生進行了隨機調查,并根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據統(tǒng)計圖的信息解決下列問題:
(1)本次調查的學生有多少人?
(2)補全上面的條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中C對應的中心角度數是_____;
(4)若該校有600名學生訂了該品牌的牛奶,每名學生每天只訂一盒牛奶,要使學生能喝到自己喜歡的牛奶,則該牛奶供應商送往該校的牛奶中,A,B口味的牛奶共約多少盒?
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【題目】2018年5月3日,中國科學院在上海發(fā)布了中國首款人工智能芯片:寒武紀(MLU100),該芯片在平衡模式下的等效理論峰值速度達每秒128 000 000 000 000次定點運算,將數
128 000 000 000 000用科學計數法表示為( )
A. 1.281014 B. 1.2810-14 C. 1281012 D. 0.1281011
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【題目】已知:一次函數的圖象與反比例函數()的圖象相交于A,B兩點(A在B的右側).
(1)當A(4,2)時,求反比例函數的解析式及B點的坐標;
(2)在(1)的條件下,反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P,使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)當A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)時,直線OA與此反比例函數圖象的另一支交于另一點C,連接BC交y軸于點D.若,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,已知雙曲線(k<0)經過直角三角形OAB斜邊OA的中點D,且與直角邊AB相交于點C.若點A的坐標為(﹣6,4),則△AOC的面積為_____.
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