【題目】(11分)已知△ABC,分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF.

(1)如圖1,當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí),請(qǐng)你寫出滿足圖中條件,四個(gè)成立的結(jié)論;

(2)如圖2,當(dāng)△ABC中只有∠ACB=60°時(shí),請(qǐng)你證明SABCSABD的和等于SBCESACF的和.

【答案】(1)答案不唯一,如:DE=EF,DF=EF,∠D=∠E=∠F,A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn);(2)見解析

【解析】試題分析:(1)由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論.

(2)要證明以上結(jié)論,需創(chuàng)造一些條件,首先可從ABC中分出一部分使得與ACF的面積相等,則過AAMFCBCM,連接DM、EM,就可創(chuàng)造出這樣的條件,然后再證其它的面積也相等即可.

試題解析:(1)DE=EF,DF=EF,D=E=F,A、B、C分別為DF、DE、EF的中點(diǎn);

(2)AAMFCBCM,連接DM、EM,

∵∠ACB=60°,CAF=60°,

∴∠ACB=CAF,

AFMC,

∴四邊形AMCF是平行四邊形,

又∵FA=FC,

∴四邊形AMCF是菱形,

AC=CM=AM,且∠MAC=60,

∵在BACEMC中,

CA=CM,ACB=MCE,CB=CE,

∴△BACEMC,

∵∠DAM=DAB+BAM=60°+BAM,

BAC=MAC+BAM=60°+BAM,

∴∠BAC=DAM

ABCADM

AB=AD,BAC=DAM,AC=AM,

∴△ABCADM(SAS)

ABCMECADM,

CB上截取CM,使CM=CA,

再連接AM、DM、EM

易證AMC為等邊三角形,

ABCMEC中,

CA=CM,ACB=MCE,CB=CE,

∴△ABCMEC(SAS),

AB=ME,ABC=MEC,

又∵DB=AB,

DB=ME,

∵∠DBC=DBA+ABC=60°+ABC,

BME=BCE+MEC=60°+MEC,

∴∠DBC=BME,

DBME,

DBME平行且相等,故四邊形DBEM是平行四邊形,

∴四邊形DBEM是平行四邊形,

SBDM+SDAM+SMAC=SBEM+SEMC+SACF,

SABC+SABD=SBCE+SACF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,在ABC中,點(diǎn)OAC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)O作直線MNBC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.

(1)求證:EO=FO;

(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.

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【題目】一不透明的布袋里,裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球(除顏色外其余都相同),其中有紅球2個(gè),藍(lán)球1個(gè),黃球若干個(gè),現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為
(1)求口袋中黃球的個(gè)數(shù);
(2)甲同學(xué)先隨機(jī)摸出一個(gè)小球(不放回),再隨機(jī)摸出一個(gè)小球,請(qǐng)用“樹狀圖法”或“列表法”,求兩次摸出都是紅球的概率;
(3)現(xiàn)規(guī)定:摸到紅球得5分,摸到黃球得3分,摸到藍(lán)球得2分(每次摸后放回),乙同學(xué)在一次摸球游戲中,第一次隨機(jī)摸到一個(gè)紅球第二次又隨機(jī)摸到一個(gè)藍(lán)球,若隨機(jī)再摸一次,求乙同學(xué)三次摸球所得分?jǐn)?shù)之和不低于10分的概率.

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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A,B移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng),連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒,0<t<2.5).

(1)當(dāng)t為何值時(shí),以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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【題目】閱讀下列材料:

小明遇到一個(gè)問題:5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示,將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.他的做法是:按圖2所示的方法分割后,將三角形紙片①繞AB的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至三角形紙片②處,以此方法繼續(xù)操作,即可拼成一個(gè)新的正方形DEFG.

請(qǐng)你參考小明的做法解決下列問題:

(1)現(xiàn)有5個(gè)形狀,大小相同的矩形紙片,排列形式如圖3所示.請(qǐng)將其分割后拼接成一個(gè)平行四邊形,要求:在圖3中畫出并指明拼接成的平行四邊形(畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可).

(2)如圖4,在面積為2的平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),分別連結(jié)AF、BG、CH、DE,所得MNPQ面積為__________

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【題目】觀察下列等式的規(guī)律,解答下列問題:

a1=,a2=),a3=),a4=),…….

(1)第5個(gè)等式為   ;第n個(gè)等式為   (用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù));

(2)設(shè)S1=a1﹣a2,S2=a3﹣a4,S3=a5﹣a6,……,S1008=a2015﹣a2016.求S1+S2+S3+……+S1008的值.

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【題目】菱形的周長為24,相鄰兩內(nèi)角比為1:2,則其對(duì)角線長分別為____________

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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)P為BC邊上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),且∠DPE=90°,PE交AB于點(diǎn)E,設(shè)BP=x,BE=y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )

A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD,點(diǎn)M,N分別在邊AD和邊BC上,點(diǎn)EF在線段BD上,且AM=CN,DF=BE.求證:

1∠DFM=∠BEN;

2)四邊形MENF是平行四邊形.

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