Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，
DF＝8cm．E，F(xiàn)兩點(diǎn)在BC邊上，DE，DF兩邊分別與AB邊交于G，H兩點(diǎn)．現(xiàn)固定△ABC不動(dòng)，△DEF從點(diǎn)F
與點(diǎn)B重合的位置出發(fā)，沿BC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，在折線FD—DE上以2cm/s的速
度向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)．△DEF與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，△DEF和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是
t（單位：s），t＞0．
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，PH=    cm ，DG =    cm；
（2）t為多少秒時(shí)△PDE為等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）t為多少秒時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合？寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程；
（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代數(shù)式表示）．

Answer 1

（1），
（2）只有點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PDE才能成為等腰三角形，且PD=PE．（如圖6）

∵ BF=t，PF=2t，DF＝8，
∴ ．
在Rt△PEF中，=．
即．
解得 ．
∴ t為時(shí)△PDE為等腰三角形．
（3）設(shè)當(dāng)△DEF和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，此時(shí)點(diǎn)P一定在DE邊上，DP= DG．
由已知可得，．
∴
∴
∴ ，
，

∵ ，
∴ ．
由DP=DG得．
解得 ．
　檢驗(yàn)：，此時(shí)點(diǎn)P在DE邊上.
∴ t的值為時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合．
　　　（4）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)（如圖6），．
當(dāng)4< t≤6時(shí)，點(diǎn)P在DE邊上運(yùn)動(dòng)（如圖7），作PS⊥BC于S，則．
　　　　　
可得．
　　　　此時(shí)，
．
．
∴
綜上所述，
（以上時(shí)間單位均為s，線段長(zhǎng)度單位均為cm）

（1）當(dāng)t=2，得到BF=2，PF=4，根據(jù)BF：BC=HF：AC，即可求出HF，從而得到PH；BE=8，利用Rt△BEG∽R(shí)t△BAC，可求出EG，得到DG；
（2）根據(jù)題意得到PD=PE，則BF=t，PF=2t，DF=8，得到PD=DF-PF=8-2t．在Rt△PEF中，利用勾股定理得到4t²+36=（8-2t）²，解得t=．
（3）設(shè)當(dāng)△DEF和點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)G重合，此時(shí)點(diǎn)P一定在DE邊上，DP=DG．根據(jù)正切的定義得到tanB=tanD=，則FH=t，DH=8-t，得到DG=-t+，而DP+DF=2t，于是有2t-8=-t+，即可解得t的值；
（4）分類討論：當(dāng)0＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在DF邊上運(yùn)動(dòng)，tan∠PBF==2；當(dāng)4＜t≤6時(shí)，點(diǎn)P在DE邊上運(yùn)動(dòng)，作PS⊥BC于S，PE=DE-DP=10-（2t-8）=18-2t．tan∠PBF=．