【題目】如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的頂點O為坐標原點,頂點A、C的坐標分別為(0,﹣)、(2,0),將矩形OABC繞點O順時針旋轉45°得到矩形OA′B′C′,邊A′B′與y軸交于點D,經(jīng)過坐標原點的拋物線y=ax2+bx同時經(jīng)過點A′、C′.

(1)求拋物線所對應的函數(shù)表達式;

(2)寫出點B′的坐標;

(3)點P是邊OC′上一點,過點P作PQOC′,交拋物線位于y軸右側部分于點Q,連接OQ、DQ,設ODQ的面積為S,當直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1:3的兩部分時,求S的值;

(4)保持矩形OA′B′C′不動,將矩形OABC沿射線CO方向以每秒1個單位長度的速度平移,設平移時間為t秒(t0).當矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形時,直接寫出t的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x;

(2)B′(1,﹣3);

(3)SODQ′=×2×=

(4)0t﹣2或t=或2﹣1t2時,矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形.

析】

試題分析:(1)求出A、C兩點坐標,把A、C兩點坐標代入y=ax2+bx解方程組即可.

(2)如圖1中,連接A′C′,OB′交于點E.求出點E坐標,根據(jù)中點坐標公式即可解決問題.

(3)分兩種情形①當OP:PC′=1:3時,P(,﹣),求出直線PQ的解析式,利用方程組求出點Q坐標即可.②當OP′:P′C′=3:1時,P′(,﹣),方法類似.

(4)分別求出①如圖3中,當AB經(jīng)過點C′時,②如圖4中,當O′C′=O′A=時,③如圖5中,當點A在直線B′C′上時的時間t,觀察圖象即可解決問題.

試題解析:(1)如圖1中,

由題意A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),把A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2)代入y=ax2+bx得,

解得,

拋物線的解析式為y=﹣x2+x.

(2)如圖1中,連接A′C′,OB′交于點E.四邊形OA′B′C′是矩形,

A′E=EC′,OE=EB′,A′(﹣1,﹣1),C′(2,﹣2),E(,﹣),B′(1,﹣3).

(3)如圖2中,直線PQ將矩形OA′B′C′的面積分為1:3的兩部分,

OP:PC′=1:3或OP′:P′C′=3:1.

①當OP:PC′=1:3時,P(,﹣),直線PQ的解析式為y=x﹣1,

,解得點Q在第四象限,

Q(,).D(0,﹣2),SODQ=×2×=

②當OP′:P′C′=3:1時,P′(,﹣),直線P′Q′的解析式為y=x﹣3,

解得,

Q′(),SODQ′=×2×=

(4)如圖3中,當AB經(jīng)過點C′時,t=2﹣2,

如圖4中,當O′C′=O′A=時,AB與B′C′交于點M,連接O′M,則O′MA≌△O′MC′,

此時t=OO′=2=

如圖5中,當點A在直線B′C′時上,t=OO′=2﹣1.

綜上所述,觀察圖形可知0t﹣2或t=或2﹣1t2時,矩形OABC與矩形OA′B′C′重疊部分圖形為軸對稱多邊形.

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