Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB＝，BC＝9，點(diǎn)E在BC邊上，BE＝4，點(diǎn)F，G在線段AD上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F在點(diǎn)G的左側(cè)），且始終保持FG＝BE．

（1）求證：四邊形BEGF是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形BEGF是菱形時(shí)，求線段DG的長(zhǎng)；

（3）將△BEF沿EF折疊得到△B′EF，連結(jié)B′G（如圖2），當(dāng)以點(diǎn)B′，G，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，直接寫出線段DG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）DG＝5；（3）DG＝1或2或4

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，即可得出四邊形BEGF是平行四邊形；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BF＝FG＝BE＝4，再用勾股定理即可；
（3）分兩種情況討論，①當(dāng)BF⊥EF，由直角三角形的面積得出EFBF＝4，再利用勾股定理得出BF2＋EF2＝16，聯(lián)立方程組求出BF，再用勾股定理求出AF即可，②當(dāng)EF⊥BC時(shí)，四邊形ABEF是矩形，即可求出DG的長(zhǎng)度．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵FG＝BE，

∴四邊形BEGF是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝9，∠BAD＝90°，

∵四邊形BEGF是菱形，

∴BF＝FG＝BE＝4，

在Rt△ABF中，AF＝=；

∴DG＝ADAFFG＝94＝5；

（3）∵△BEF沿EF折疊得到△B'EF，

∴∠BFE＝∠B'FE，

∵點(diǎn)B′，G，E，F為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

①當(dāng)BF⊥EF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，

∴∠BFE＝∠B'FE＝90°，

∴FH＝，

∵BE＝4，

根據(jù)直角三角形的面積得，EFBF＝ABBE＝4

在Rt△BEF中，BF2＋EF2＝16

解得：BF＝2或BF＝2，

當(dāng)BF＝2時(shí)，根據(jù)勾股定理得，AF＝1，

DG＝ADAFFG＝914＝4，

當(dāng)BF＝2，根據(jù)勾股定理得，AF＝3，

∴DG＝ADAFFG＝934＝2．

即：DG＝2或4．

②當(dāng)EF⊥BC時(shí)，四邊形ABEF是矩形，

∴AF＝BE＝4，

∵FG＝BE＝4，

∴DG＝ADAFFG＝1，

即：DG＝1或2或4．