【題目】如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn),且DF=BE.易證:CE=CF.

(1)在圖1中,若G在AD上,且∠GCE=45°.試猜想GE,BE,GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(2)運(yùn)用(1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識,完成下面兩題:
①如圖2,在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°,BC=CD,點(diǎn)E,點(diǎn)G分別是AB邊,AD邊上的動點(diǎn).若∠BCD=α,∠ECG=β,試探索當(dāng)α和β滿足什么關(guān)系時,圖1中GE,BE,GD三線段之間的關(guān)系仍然成立,并說明理由.
②在平面直角坐標(biāo)中,邊長為1的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,點(diǎn)O在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)A點(diǎn)第一次落在直線y=x上時停止旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過程中,AB邊交直線y=x于點(diǎn)M,BC邊交x軸于點(diǎn)N(如圖3).設(shè)△MBN的周長為p,在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,p值是否有變化?若不變,請直接寫出結(jié)論.

【答案】
(1)

解:GE=BE+GD,理由如下:

∵四邊形ABCD是正方形,F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn),

∴BC=DC,∠FDC=∠EBC=90°,

在△EBC和△FDC中, ,

∴△EBC≌△FDC(SAS),

∴∠DCF=∠BCE,CE=CF,

∵∠GCE=45°,

∴∠BCE+∠DCG=90°﹣45°=45°,

∴∠DCG+∠DCF=45°,

∴∠ECG=∠FCG,

在△ECG和△FCG中, ,

∴△ECG≌△FCG(SAS),

∴EG=GF,

∴GE=BE+GD


(2)

解:①α=2β時,GE=BE+GD;理由如下:

延長AD到F點(diǎn),使DF=BE,連接CF,如圖(2)所示:

∵∠B=∠D=90°,

∴∠B=∠FDC=90°,

在△EBC和△FDC中, ,

∴△EBC≌△FDC(SAS),

∴∠DCF=∠BCE,CE=CF,

∴∠BCE+∠DCG=∠GCF,

當(dāng)α=2β時,∠ECG=∠FCG,

在△ECG和△FCG中, ,

∴△ECG≌△FCG(SAS),

∴EG=GF,

∴GE=BE+GD;

②在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,P值無變化;

延長BA交y軸于E點(diǎn),如圖(3)所示:

則∠AOE=45°﹣∠AOM,∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM,

∴∠AOE=∠CON.

又∵OA=OC,∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN.

在△OAE和△OCN中,

∴△OAE≌△OCN(ASA).

∴OE=ON,AE=CN.

在△OME和△OMN中,

∴△OME≌△OMN(SAS).

∴MN=ME=AM+AE.

∴MN=AM+CN,

∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2.

∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中,P值無變化.


【解析】(1)由SAS證得△EBC≌△FDC,再由SAS證得△ECG≌△FCG,可得到EG=FG,即可得出結(jié)果;(2)①延長AD到F點(diǎn),使DF=BE,連接CF,可證△EBC≌△FDC,結(jié)合條件可證得△ECG≌△FCG,故EG=GF,可得出結(jié)論;②延長BA交y軸于E點(diǎn),可證得△OAE≌△OCN,進(jìn)一步可證得△OME≌△OMN,可求得MN=AM+AE

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(2)若線段A2B2與線段A1B1關(guān)于y軸對稱,請畫出線段A2B2
(3)若點(diǎn)P是此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A、B1、B2、P四邊圍成的四邊形為平行四邊形時,請你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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