Question

關于x的一元二次方程x²-x+p-1=0有兩實數根x₁，x₂，
（1）求p的取值范圍；
（2）若[2+x₁（1-x₁）][2+x₂（1-x₂）]=9，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）一元二次方程有實根，△≥0，根據判別式的公式代入可求p的取值范圍；
（2）將等式變形，結合四個等式：x₁+x₂=1，x₁•x₂=p-1，x₁²-x₁+p-1=0，x₂²-x₂+p-1=0，代入求p，結果要根據p的取值范圍進行檢驗．
解答：解：（1）由題意得：
△=（-1）²-4（p-1）≥0
解得，p≤；
（2）由[2+x₁（1-x₁）][2+x₂（1-x₂）]=9得，
（2+x₁-x₁²）（2+x₂-x₂²）=9
∵x₁，x₂是方程x²-x+p-1=0的兩實數根，
∴x₁²-x₁+p-1=0，x₂²-x₂+p-1=0，
∴x₁-x₁²=p-1，x₂-x₂²=p-1
∴（2+p-1）（2+p-1）=9，即（p+1）²=9
∴p=2或p=-4，
∵p≤，∴所求p的值為-4．
點評：本題考查了一元二次方程的根的判別式運用，根與系數關系的運用以及等式變形的能力．