Question

【題目】（類比概念）三角形的內(nèi)切圓是以三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)為圓心，以這點(diǎn)到三邊的距離為半徑的圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形，可以得出三角形的三邊與該圓相切．以此類推，如圖1，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形

（性質(zhì)探究）如圖1，試探究圓外切四邊形的ABCD兩組對(duì)邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系

猜想結(jié)論：　 　（要求用文字語(yǔ)言敘述）

寫出證明過(guò)程（利用圖1，寫出已知、求證、證明）

（性質(zhì)應(yīng)用）

①初中學(xué)過(guò)的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形　 　（填序號(hào)）

A：平行四邊形：B：菱形：C：矩形；D：正方形

②如圖2，圓外切四邊形ABCD，且AB=12，CD=8，則四邊形的周長(zhǎng)是　 　．

③圓外切四邊形的周長(zhǎng)為48cm，相鄰的三條邊的比為5：4：7，求四邊形各邊的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得出結(jié)論；

（2）①圓外切四邊形是內(nèi)心到四邊的距離相等，即可得出結(jié)論；

②根據(jù)圓外切四邊形的對(duì)邊和相等，即可求出結(jié)論；

③根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長(zhǎng)建立方程求解即可得出結(jié)論．

性質(zhì)探討：圓外切四邊形的對(duì)邊和相等，理由：

如圖1，已知：四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．

求證：AD+BC=AB+CD．

證明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圓外切四邊形的對(duì)邊和相等．

故答案為：圓外切四邊形的對(duì)邊和相等；

性質(zhì)應(yīng)用：①∵根據(jù)圓外切四邊形的定義得：圓心到四邊的距離相等．

∵平行四邊形和矩形不存在一點(diǎn)到四邊的距離相等，而菱形和正方形對(duì)角線的交點(diǎn)到四邊的距離相等．

故答案為：B，D；

②∵圓外切四邊形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．

∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四邊形的周長(zhǎng)是AB+CD+AD+BC=20+20=40．

故答案為：40；

③∵相鄰的三條邊的比為5：4：7，∴設(shè)此三邊為5x，4x，7x，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得：第四邊為5x+7x﹣4x=8x．

∵圓外切四邊形的周長(zhǎng)為48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四邊形的四邊為4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．