Question

【題目】如圖是拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)B（4，0），直線y2=mx+n（m≠0）與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①2a+b=0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
④拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣1，0）；
⑤當(dāng)1＜x＜4時(shí)，有y2＜y1 ，
其中正確的是（ ）

A.①②③
B.①③④
C.①③⑤
D.②④⑤

Answer 1

【答案】C
【解析】∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），

∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=﹣ =1，

∴2a+b=0，所以①正確；

∵拋物線開(kāi)口向下，

∴a＜0，

∴b=﹣2a＞0，

∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，所以②錯(cuò)誤；

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，3），

∴x=1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，

∴方程ax2+bx+c=3有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以③正確；

∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）

而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），所以④錯(cuò)誤；

∵拋物線y1=ax2+bx+c與直線y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B點(diǎn)（4，0）

∴當(dāng)1＜x＜4時(shí)，y2＜y1，所以⑤正確．

所以答案是：C．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及系數(shù)a、b、c的關(guān)系和拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開(kāi)口方向：a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上; a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下b與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)：對(duì)稱(chēng)軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）；一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．才能正確解答此題．