【題目】新知:對角線垂直的四邊形兩組對邊的平方和相等

感知與認(rèn)證:如圖1,23中,四邊形ABCDO,如圖1,ACBD相互平分,如圖2,AC平分BD,結(jié)論顯然成立.

認(rèn)知證明:(1)請你證明如圖3中有成立。

發(fā)現(xiàn)應(yīng)用:(2)如圖4,若AF,BE是三角形ABC的中線,垂足為P

已知:,,AB的長

拓展應(yīng)用:(3)如圖5,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),,,.AF的長.

【答案】認(rèn)識證明:(1)見解析;發(fā)現(xiàn)應(yīng)用:(2AB=4;拓展應(yīng)用:(3.

【解析】

認(rèn)識證明:(1)利用勾股定理,分別表示AD2+BC2AD2+BC2即可證明;發(fā)現(xiàn)應(yīng)用:(2)連接EF,根據(jù)中位線的定理可得,根據(jù)中線的定理可得,結(jié)合對角線垂直的四邊形兩組對邊的平方和相等,列出等式,代入值求解即可;拓展應(yīng)用:(3)連接AC,EF交于H,AC與BE交于點(diǎn)Q,設(shè)BE與AF的交點(diǎn)為P.連接PH.可證明EP,AH分別是AFE的中線,BEAC,結(jié)合(2)可求得AF.

認(rèn)識證明:(1)如下圖:

ACBD,

∴∠AED=AEB=BEC=CED=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

AD2+BC2=AB2+CD2.

發(fā)現(xiàn)應(yīng)用:(2)如下圖,連接EF

AF,BE是三角形ABC的中線

解得EF=2,AB=2EF=4.

拓展應(yīng)用:(3)如圖,連接ACEF交于H,ACBE交于點(diǎn)Q,設(shè)BEAF的交點(diǎn)為P.連接PH.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

ADBCAD=BC=,

∴∠EAH=FCH.

EF分別是AD,BC的中點(diǎn),

AEBF,

∴四邊形ABFE是平行四邊形,

EF=AB=3AP=PF.

∵在AEHCFH中,

∴△AEH≌△CFH,

EH=FH=,

EP,AH分別是AFE的中線.

∵點(diǎn)E、G分別是AD,CD的中點(diǎn),

EGAC.

BEEG,

BEAC.

解得:,故

練習(xí)冊系列答案
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