【題目】如圖,已知在△ABC中,∠ACB90°,AC4,BC8,點P是射線AC上一點(不與點A、C重合),過PPMAB,垂足為點M,以M為圓心,MA長為半徑的M與邊AB相交的另一個交點為點N,點Q是邊BC上一點,且CQ2CP,聯(lián)結(jié)NQ

1)如果M與直線BC相切,求M的半徑長;

2)如果點P在線段AC上,設(shè)線段APx,線段NQy,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域;

3)如果以NQ為直徑的OM的公共弦所在直線恰好經(jīng)過點P,求線段AP的長.

【答案】1;(20x4);(3

【解析】

1)先根據(jù)勾股定理求得,設(shè)⊙M的半徑長為R,則,過MMHBC,垂足為點H,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到,最后根據(jù)⊙M與直線BC相切,即MAMH,即可求解;

2)設(shè)APx,得到CP4x,CQ82xBQ2x,過QQGAB,垂足為點G,根據(jù)三角函數(shù)可得,根據(jù)PMAB,,得到,最后在RtQNG中,根據(jù)勾股定理即可求解;

3)當(dāng)點P在線段AC上,設(shè)以NQ為直徑的OM的另一個交點為點E,連接EN,MO,則MOEN,根據(jù)以NQ為直徑的OM的公共弦所在直線恰好經(jīng)過點PPMAB,MAMN,得到PNPA,∠PAN=∠ANE,再根據(jù)∠ACB90°,得到∠PAN+B90°,∠NMO=∠B,連接AQ,根據(jù) M、O分別是線段AN、NQ的中點,得到MOAQ,∠NMO=∠BAQ,∠BAQ=∠B QAQB,在RtQAC中,根據(jù)勾股定理得,QA2AC2+QC2即可求解;當(dāng)點P在線段AC的延長上,即

1)解:如圖1,

RtABC中,

∵∠ACB90°,AC4,BC8,

設(shè)M的半徑長為R,則

MMHBC,垂足為點H,

MHAC,

MHAC,

∴△BHM∽△BCA,

M與直線BC相切,

MAMH,

,

的半徑長為;

2)如圖2,

APx

CP4x,

CQ2CP,

CQ82x,

BQBCCQ8﹣(82x)=2x

QQGAB,垂足為點G,

,

,

同理:

PMAB,

∴∠AMP90°,

APx,

RtQNG中,根據(jù)勾股定理得,QN2NG2+QG2,

0x4);

3)當(dāng)點P在線段AC上,如圖3

設(shè)以NQ為直徑的OM的另一個交點為點E,連接ENMO,

MOEN,

∴∠NMO+ANE90°,

∵以NQ為直徑的OM的公共弦所在直線恰好經(jīng)過點P,

P、E、N在同一直線上,

又∵PMAB,MAMN,

PNPA,

∴∠PAN=∠ANE

∵∠ACB90°,

∴∠PAN+B90°,

∴∠NMO=∠B,

連接AQ,

MO分別是線段AN、NQ的中點,

MOAQ,

∴∠NMO=∠BAQ,

∴∠BAQ=∠B,

QAQB,

RtQAC中,根據(jù)勾股定理得,QA2AC2+QC2

∴(2x242+82x2,

同理:當(dāng)點P在線段AC的延長上,

即線段AP的長為

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1)小明從中隨機抽取一張卡片是足球社團B的概率是   

2)小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母后不放回,再從剩余的卡片中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的字母.請你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團D的概率.

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