【題目】如圖,Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、CA分別相切于點D、E、F,且∠ACB=90°,AB=5,BC=3,點P在射線AC上運動,過點P作PH⊥AB,垂足為H.

(1)直接寫出線段AC、AD及⊙O半徑的長;
(2)設(shè)PH=x,PC=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當PH與⊙O相切時,求相應(yīng)的y值.

【答案】
(1)

解:AC=4,AD=3,⊙O的半徑長為1.

(如圖1,連接AO、DO.

設(shè)⊙O的半徑為r.

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= =4,

則⊙O的半徑r= (AC+BC﹣AB)= ×(4+3﹣5)=1;

∵CE、CF是⊙O的切線,∠ACB=90°,

∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°,OF=OE,

∴四邊形CEOF是正方形,

∴CF=OF=1;

又∵AD、AF是⊙O的切線,

∴AF=AD;

∴AF=AC﹣CF=AC﹣OF=4﹣1=3,即AD=3);


(2)

解:①如圖1,若點P在線段AC上時.

在Rt△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,

∵∠C=90°,PH⊥AB,

∴∠C=∠PHA=90°,

∵∠A=∠A,

∴△AHP∽△ACB,

,

∴y=﹣ x+4,即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣ x+4(0≤x≤2.4);

②同理,當點P在線段AC的延長線上時,△AHP∽△ACB,

,

∴y= x﹣4,即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y= x﹣4(x>2.4);


(3)

解:①當點P在線段AC上時,如圖2,P′H′與⊙O相切于點M.

∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°,OM=OD,

∴四邊形OMH′D是正方形,

∴MH′=OM=1;

由(1)知,四邊形CFOE是正方形,

CF=OF=1,

∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;

又由(2)知,y=﹣ x+4,

∴y=﹣ y+4,

解得y=

②當點P在AC的延長線上時,如圖,P″H″與⊙O相切.此時y=1.


【解析】(1)由勾股定理求AC的長度;設(shè)⊙O的半徑為r,則r= (AC+BC﹣AB);根據(jù)圓的切線定理、正方形的判定定理知四邊形CEOF是正方形;然后由正方形的性質(zhì)證得CF=OF=1,則由圖中線段間的和差關(guān)系即可求得AD的長度;(2)分類討論:①當點P在線段AC上時,通過相似三角形△AHP∽△ACB的對應(yīng)邊成比例知, ,將“PH=x,PC=y”代入求出即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;②當點P在線段AC的延長線上時,同理,利用相似三角形的性質(zhì)求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(3)根據(jù)圓的切線定理證得四邊形OMH′D、四邊形CFOE為正方形;然后利用正方形的性質(zhì)、圓的切線定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;最后將其代入(2)中的函數(shù)關(guān)系式即可求得y值.

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