【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,若動點P從點C開始,按C→A→B的路徑運動,且速度為每秒2cm,設點P的運動時間為t秒.
(1)則AC=______cm;
(2)當BP平分∠ABC,求此時點P的運動時間t的值;
(3)點P運動過程中,△BCP能否成為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能請說明理由.
【答案】(1)4;(2);(3)t為s或s或3s或s時,△BCP為等腰三角形.
【解析】
(1)直接由勾股定理得,可得AC的值;
(2)作PE⊥AB于E,可得△BPE≌△BPC,可得BE=BC=3,PE=PC,AE=5-BE=2,AP=4-PC,在Rt△AEP中,AP2=AE2+EP2,即(4-PC)2=22+PC2,可得PC的值,可得時間.
(3)分CP=CB,BP=BC=3,CP=CB=3,PC=PB 幾種情況討論可得t的值.
解:(1)由勾股定理得,AC==4(cm),
故答案為:4;
(2)作PE⊥AB于E,
在△BPE和△BPC中,
,
∴△BPE≌△BPC(AAS)
∴BE=BC=3,PE=PC,
∴AE=5-BE=2,AP=4-PC,
在Rt△AEP中,AP2=AE2+EP2,即(4-PC)2=22+PC2,
解得,PC=,
當BP平分∠ABC時,點P的運動時間t=÷2=秒;
(3)如圖2,當CP=CB時,△BCP為等腰三角形,
若點P在CA上,則2t=3,
解得t=(s);
如圖3,當BP=BC=3時,△BCP為等腰三角形,
∴AP=AB-BP=2,
∴t=(4+2)÷2=3(s);
如圖4,若點P在AB上,CP=CB=3,作CD⊥AB于D,則根據面積法求得CD=,
在Rt△BCD中,由勾股定理得,BD=,
∴PB=2BD=
∴CA+AP=4+5-=5.4,
此時t=5.4÷2=2.7(s);
如圖5,當PC=PB時,△BCP為等腰三角形,作PD⊥BC于D,則BD=CD,
∴PD為△ABC的中位線,
∴AP=BP=AB=,
∴t=(4+)÷2=(s);
綜上所述,t為s或s或3s或s時,△BCP為等腰三角形;
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求證:△DEF是等腰三角形;
(2)當∠A=40°時,求∠DEF的度數;
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【題目】一個不透明的袋子中裝有黑球兩個,白球三個,這些小球除顏色外無其他區(qū)別,從袋子中隨機摸出一個小球后,放回并搖勻,再隨機摸出一個小球,則兩次摸出的小球都是黑球的概率為 .
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,BC=2,點D為斜邊AB的中點,連接CD,將△BCD沿CD翻折,使點B落在點E處,點F為直角邊AC上一點,連接DF,將△ADF沿DF翻折,使點A與點E重合,求折痕DF的長.
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【題目】某街道改建工程指揮部,要對某路段工程進行招標,接到了甲、乙兩個工程隊的投標書. 從投標書中得知:甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的;若由甲隊先做10天,剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天?
(2)已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元,乙隊每天的施工費用為0.56萬元,工程預算的施工費用為50萬元. 為縮短工期以減少對住戶的影響,擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程,則工程預算的施工費用是否夠用?若不夠用,需追加預算多少萬元?請給出你的判斷并說明理由.
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【題目】△ABC中,∠ACB=90°,∠A=α,以C為中心將△ABC旋轉θ角到△A1B1C(旋轉過程中保持△ABC的形狀大小不變)B點恰落在A1B1上,如圖,則旋轉角θ的大小為( )
A.α+10°
B.α+20°
C.α
D.2α
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【題目】如圖,已知BC,DE相交于點O,給出以下三個判斷:①AB∥DE;②BC∥EF;③∠B=∠E,請你以其中兩個判斷作為題設,另外一個判斷作為結論,寫出所有的命題,指出這些命題是真命題還是假命題,并選擇其中的一個真命題加以證明.
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【題目】一個尋寶游戲的尋寶通道如圖1所示,通道由在同一平面內的AB,BC,CA,OA,OB,OC組成.為記錄尋寶者的行進路線,在BC的中點M處放置了一臺定位儀器.設尋寶者行進的時間為x,尋寶者與定位儀器之間的距離為y,若尋寶者勻速行進,且表示y與x的函數關系的圖象大致如圖2所示,則尋寶者的行進路線可能為( )
A.A→O→B
B.B→A→C
C.B→O→C
D.C→B→O
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