Question

如圖，矩形OABC放置在第一象限內(nèi)，已知A(3，0)，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝的圖像交BC、AB于點(diǎn)D、E．
(1)若點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，試證明點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為F，試探究：點(diǎn)F是否落在該雙曲線上？

Answer 1

（1）證明見解析；（2）

試題分析：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得AB的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得證明結(jié)論；
（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得∠AOF的大小，OF與OA的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)F點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的乘積與反比例函數(shù)解析式中k的值，可得答案．
試題解析：（1）證明：∵OA=3，∠AOB=30°，
∴AB=．
∵D點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴D（1.5，）．
∴反比例函數(shù)解析式是y=．
當(dāng)x_E=3時(shí)，y_E=，
∴E為AB的中點(diǎn)；
（2）作FG⊥OA于點(diǎn)G，如圖：點(diǎn)F沒有落在雙曲線上．
，
∵點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為，
∴∠AOF=60°．
∵OF=OA=3，
∴OG＝，F(xiàn)G＝．
∴F(，)．
∵×≠，
∴點(diǎn)F沒有落在雙曲線上．