Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CD，BD=CD，CE平分∠BCD，交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，EN∥DC交BD于點(diǎn)N，連接DE．下列結(jié)論：
①BH=BE； ②EH=DH； ③tan∠EDB=；④；
 其中正確的有（ ）

A．①③④
B．②③④
C．①④
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：首先由BD⊥CD，BD=CD，可求得∠DBC=∠DCB=45°，又由CE平分∠BCD，∠ABC=90°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，即可求得∠BEH=∠BHE=67.5°，然后由等角對(duì)等邊，即可求得①正確；由由等腰直角三角形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)易證得③正確，利用排除法即可求得答案．
解答：解：∵BD⊥CD，BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD=45°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE=22.5°，
∴∠BHE=∠DBC+∠BCE=67.5°，∠BEC=90°-∠BCE=67.5°，
∴∠BHE=∠BEC，
∴BH=BE；
故①正確；
∵∠HED與∠HDE的大小無(wú)法確定，
故EH不一定等于EH，
故②錯(cuò)誤；
設(shè)EH=DH=a，
過(guò)點(diǎn)H作HF⊥BC于點(diǎn)F，
∵BD⊥CD，CE平分∠BCD，
則FH=DF=a，
∴BH=a，
∴BE=BH=a，
∴BN=EN=a，
∴NH=BH-BN=a-a，
∴DN=DH+NH=a，
∴tan∠EDB===；
故③正確；
∵EN∥CD，
∴∠CEN=∠DCE=22.5°，
∵∠BHE=67.5°，
∵∠ABD=90°-∠CBD=45°．
∴∠BEH=∠BHE=67.5°，
∴BE=BH，
∴∠ENH=180°-∠CEN-∠EHN=90°，
∴∠ENH=∠ABC，∠NEH=∠BCE=22.5°，
∴△ENH∽△CBE，
∴，
∴，
∵，
∴．
故④正確．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及特殊角三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．