【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),對稱軸為直線x=﹣2.
(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線上的另一點(diǎn).已知以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9.求此拋物線的解析式,并指出頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)P是(2)中拋物線對稱軸上一動(dòng)點(diǎn),且以1個(gè)單位/秒的速度從此拋物線的頂點(diǎn)E向上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
①當(dāng)t為 秒時(shí),△PAD的周長最。慨(dāng)t為 秒時(shí),△PAD是以AD為腰的等腰三角形?(結(jié)果保留根號)
②點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在一點(diǎn)P,使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】解:(1)由拋物線的軸對稱性及A(﹣1,0),可得B(﹣3,0)。
(2)設(shè)拋物線的對稱軸交CD于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,
由題意可知AB∥CD,由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM。
∵MN∥y軸,AB∥CD,∴四邊形ODMN是矩形。
∴DM=ON=2。∴CD=2×2=4。
∵A(﹣1,0),B(﹣3,0),∴AB=2。
∵梯形ABCD的面積=(AB+CD)OD=9,
∴OD=3,即c=3。
把A(﹣1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3得
,解得。
∴y=x2+4x+3.
將y=x2+4x+3化為頂點(diǎn)式為y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1)。。
(3)①2; 4或或。
②存在。
∵∠APD=90°,∠PMD=∠PNA=90°,∴∠PDM+∠APN=90°,∠DPM+∠PDM=90°。
∴∠PDM=∠APN。
∵∠PMD=∠ANP,∴△APN∽△PDM。
∴,即。
∴PN2﹣3PN+2=0,解得PN=1或PN=2。
∴P(﹣2,1)或(﹣2,2)。
【解析】
試題(1)根據(jù)拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)。
(2)先根據(jù)梯形ABCD的面積為9,可求c的值,再運(yùn)用待定系數(shù)法可求拋物線的解析式,轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式可求頂點(diǎn)E的坐標(biāo)。
(3)①根據(jù)軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪問題的求法可得△PAD的周長最小時(shí)t的值;根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)t的值。
②先證明△APN∽△PDM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PN的值,從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點(diǎn)A(2,4)和點(diǎn)B(6,0).
(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出它的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)均在此拋物線上,若x1>x2>4,則y1 ________ y2(填“>”“=”或“<”).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ACBE內(nèi)接于⊙O,AB平分∠CAE,CD⊥AB交AB、AE分別于點(diǎn)H、D.
(1)如圖①,求證:BD=BE;
(2)如圖②,若F是弧AC的中點(diǎn),連接BF,交CD于點(diǎn)M,∠CMF=2∠CBF,連接FO、OC,求∠FOC的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,連接OD,若BC=4 ,OD=7,求BF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半徑為4的⊙O的直徑,P是圓上異于A,B的任意一點(diǎn),∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn) C,連接AC和BC,△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F,則EF的長是________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a滿足以下三個(gè)條件:①a是整數(shù);②關(guān)于x的一元二次方程ax2+4x﹣2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;③反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限.
(1)求a的值.
(2)求一元二次方程ax2+4x﹣2=0的根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),CD⊥AB于D,AD=9,BD=4,以C為圓心,CD為半徑的圓與⊙O相交于P,Q兩點(diǎn),弦PQ交CD于E,則PEEQ的值是( )
A. 24 B. 9 C. 36 D. 27
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)M在x軸的正半軸上,⊙M交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于C、D兩點(diǎn),且C為弧AE的中點(diǎn),AE交y軸于G點(diǎn),若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),AE=4
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)連接MG、BC,求證:MG∥BC
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC為等腰三角形.若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)M到 達(dá)點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),問點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),△MNB面積最大,試求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠大門是一拋物線水泥建筑物(如圖),大門地面寬AB=4 m,頂部C離地面高為4.4 m.
(1)以AB所在直線為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)現(xiàn)有一輛載滿貨物的汽車欲通過大門,貨物頂點(diǎn)距地面2.8 m,裝貨寬度為2.4 m,請通過計(jì)算,判斷這輛汽車能否順利通過大門.
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