【題目】如圖，在□ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，以大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，得四邊形ABEF.

求證：四邊形ABEF是菱形.

【答案】見解析

【解析】分析：先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明.

詳解：證明：連接BP、FP由作圖知：AB=AF，BP=FP

在△APB和△APF中，

∴△APB≌△APF，∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵AB=BE，

四邊形ABEF是菱形．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運送，兩車各運12趟可完成，需支付運費4800元．已知甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾，乙車所運趟數(shù)是甲車的2倍，且乙車每趟運費比甲車少200元．
（1）求甲、乙兩車單獨運完此堆垃圾各需運多少趟？
（2）若單獨租用一臺車，租用哪臺車合算？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校九年級（1）班準備購買大課間活動器材呼啦圈和跳繩，已知購買1根跳繩和2個呼啦圈要35元，購買2根跳繩和1個呼啦圈要25元．
（1）求每根跳繩、每個呼啦圈各多少元？
（2）根據(jù)班級實際情況，需購買跳繩和呼啦圈的總數(shù)量為30，總費用不超過300元，但不低于280元，請你通過計算求出有幾種購買方案，哪種方案費用最低．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于點H，分別交AC、CD于點G、P，連結GE、GF．

（1）求證：△OAE≌△OBG．

（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】解答題
（1）問題背景
如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB=AC，P為BmC上一動點（不與B，C重合），求證： PA=PB+PC．

小明同學觀察到圖中自點A出發(fā)有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉作了鋪墊．于是，小明同學有如下思考過程：
第一步：將△PAC繞著點A順時針旋轉90°至△QAB（如圖①）；
第二步：證明Q，B，P三點共線，進而原題得證．
請你根據(jù)小明同學的思考過程完成證明過程．
（2）類比遷移
如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．

（3）拓展延伸
如圖③，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB= AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為 ．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜邊AB上的點O為圓心的圓分別與AC，BC相切于點E，F(xiàn)，與AB分別交于點G，H，且EH的延長線和CB的延長線交于點D，則CD的長為 ．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在南北方向的海岸線MN上，有A、B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號．已知A、B兩船相距100（ +1）海里，船C在船A的北偏東60°方向上，船C在船B的東南方向上，MN上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東75°方向上．

（1）分別求出A與C，A與D間的距離AC和AD（如果運算結果有根號，請保留根號）．
（2）已知距離觀測點D處100海里范圍內(nèi)有暗礁，若巡邏船A沿直線AC去營救船C，在去營救的途中有無觸礁的危險？（參考數(shù)據(jù)： ≈1.41， ≈1.73）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】兩枚正四面體骰子的各面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，現(xiàn)在同時投擲這兩枚骰子，并分別記錄著地的面所得的點數(shù)為a、b．
（1）假設兩枚正四面體都是質地均勻，各面著地的可能性相同，請你在下面表格內(nèi)列舉出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出兩次著地的面點數(shù)相同的概率．

b
a

1

2

3

4

1

（1，2）

2

3

4


（2）為了驗證試驗用的正四面體質地是否均勻，小明和他的同學取一枚正四面體進行投擲試驗．試驗中標號為1的面著地的數(shù)據(jù)如下：

試驗總次數(shù)

50

100

150

200

250

500

“標號1”的面著地的次數(shù)

15

26

34

48

63

125

“標號1”的面著地的頻率

0.3

0.26

0.23

0.24

請完成表格（數(shù)字精確到0.01），并根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)估計“標號1的面著地”的概率是

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣ x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若點E′是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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