【題目】在△ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點,且滿足∠DBE=∠ABC.
(1)如圖1,以點B為旋轉中心,將△EBC按順時針方向旋轉,得到△E′BA(點C與點A重合,點E到點E′處),連接DE′.求證:DE′=DE;
(2)如圖2,若∠ABC=90°,AD=4,EC=2,求DE的長.
【答案】(1)見解析;(2)2.
【解析】
試題分析:(1)先根據旋轉的性質得BE′=BE,∠E′BA=∠EBC,則∠E′BE=∠ABC,再利用∠DBE=∠ABC易得∠DBE′=∠DBE,根據“SAS”判斷△BDE′≌△BDE,所以DE′=DE;
(2)以點B為旋轉中心,將△EBC按順時針方向旋轉90°得到△E′BA(點C與點A重合,點E到點E′處),如圖2,利用等腰直角三角形的性質得∠BCE=∠BAD=45°,利用旋轉的性質得∠BAE′=∠BCE=45°,AE′=CE=2,則∠DAE′=90°,在Rt△DAE′中利用勾股定理可計算出DE′=2,然后就根據(1)的結論即可得到DE=DE′=2.
(1)證明:∵以點B為旋轉中心,將△EBC按順時針方向旋轉,得到△E′BA(點C與點A重合,點E到點E′處),
∴BE′=BE,∠E′BA=∠EBC,
∴∠E′BE=∠ABC,
∵∠DBE=∠ABC,
∴∠DBE=∠E′BE,即∠DBE′=∠DBE,
在△BDE′和△BDE中,
,
∴△BDE′≌△BDE(SAS),
∴DE′=DE;
(2)解:以點B為旋轉中心,將△EBC按順時針方向旋轉90°得到△E′BA(點C與點A重合,點E到點E′處),如圖2,
∵∠ABC=90°,BA=BC,
∴∠BCE=∠BAD=45°,
∵△EBC按順時針方向旋轉90°得到△E′BA,
∴∠BAE′=∠BCE=45°,AE′=CE=2,
∴∠DAE′=∠BAD+∠BAE′=90°,
在Rt△DAE′中,∵DE′2=AD2+AE′2=42+22=20,
∴DE′=2,
由(1)的結論得DE=DE′=2.
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【題目】在課外實踐活動中,甲、乙、丙、丁四個小組用投擲一元硬幣的方法估算正面朝上的概率,其實驗次數(shù)分別為10次、50次、100次,200次,其中實驗相對科學的是( )
A.甲組 B.乙組 C.丙組 D.丁組
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【題目】一組數(shù)據2,3,5,4,4,6的中位數(shù)和平均數(shù)分別是( )
A.4.5和4 B.4和4 C.4和4.8 D.5和4
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【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,O為AB邊中點,將△ABC繞點O逆時針旋轉60°至△EDA位置,連接CD.
(1)求證:OD⊥BC;
(2)求證:四邊形AODC為菱形.
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【題目】如圖,OB平分∠CBA,CO平分∠ACB,且MN∥BC,設AB=12,BC=24,AC=18,則△AMN的周長為( )
A.30 B.33 C.36 D.39
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【題目】如圖,已知△ABC,∠ABC=90°,利用直尺和圓規(guī),根據要求作圖(不寫作法,保留作圖痕跡),并解決下面的問題.
(1)作AC的垂直平分線,分別交AC、BC于點D、E;
(2)若AB=12,BE=5,求△ABC的面積.
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【題目】為了解中學生獲取資訊的主要渠道,設置“A:手機,B:電視,C:網絡,D:身邊的人,E:其他”五個選項(五項中必選且只能選一項)的調查問卷,先隨機抽取50名中學生進行該問卷調查,則該調查的方式是_______.(填普查或抽樣調查)
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【題目】某報亭老板以每份0.5元的價格從報社購進某種報紙500份,以每份0.8元的價格銷售x份﹙x<500﹚,未銷售完的報紙又以每份0.1元的價格由報社收回。這次買賣中該老板賺錢____元。
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