【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點(diǎn)M為BC中點(diǎn).點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接DP,以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段PE,連接EC.
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),如圖2.
①根據(jù)題意在圖2中完成作圖;
②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明.
(2)連接EM,寫(xiě)出一個(gè)BP的值,使得對(duì)于任意的點(diǎn)D總有EM=EC,并證明.
【答案】(1)①作圖見(jiàn)解析;②EC⊥BC.證明見(jiàn)解析;(2)EM=EC.證明見(jiàn)解析;
【解析】
(1)①由題意直接根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可.
②結(jié)論:EC⊥BC.證明△BAD≌△CAE,推出∠ACE=∠B=45°即可解決問(wèn)題.
(2)由題意可知當(dāng)BP=時(shí),總有EM=EC.如圖3中,作PS⊥BC于S,作PN⊥PS,并使得PN=PS,連接NE,延長(zhǎng)NE交BC于Q,連接EM,EC.通過(guò)計(jì)算證明QM=QC,利用線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.
解:(1)①圖形如圖2中所示:
②結(jié)論:EC⊥BC.
理由:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∵∠EAD=∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,
∴EC⊥BC.
(2)當(dāng)BP=時(shí),總有EM=EC.
理由:如圖3中,作PS⊥BC于S,作PN⊥PS,并使得PN=PS,連接NE,延長(zhǎng)NE交BC于Q,連接EM,EC.
∵PD=PE,∠DPE=∠SPN=90°,
∴∠DPS=∠EPN,
∵∠PSD=∠N=90°,
∴△DPS≌△EPN(AAS),
∴PH=PS,∠PSD=∠N=90°,
∵∠PEQ=∠PSQ=∠SPN=90°,
∴四邊形PNQS是矩形,
∵PS=PN,
∴四邊形PNQS是正方形,
∵BP=,∠B=45°,AB=2,
∴BS=PS=,BC=2,
∴BQ=2BS=,QC=,
∵M是BC的中點(diǎn),
∴MC=,
∴MQ=QC=,
∵EQ⊥CM,
∴NQ是CM的垂直平分線,
∴EM=EC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AB,CD,EF,GH是正方形OPQR邊上的線段,點(diǎn)M在其中某條線段上,若射線OM與x軸正半軸的夾角為α,且sinα>cosα,則點(diǎn)M所在的線段可以是( 。
A.AB和CDB.AB和EFC.CD和GHD.EF和GH
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC中點(diǎn),AE∥BD,且AE=BD.
(1)求證:四邊形AEBD是矩形;
(2)連接CE交AB于點(diǎn)F,若∠ABE=30°,AE=2,求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABM中,∠ABM=90°,以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABCD,以A為圓心,AM為半徑作⊙A,我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”,如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內(nèi)部(或圓上),我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的絕對(duì)友好正方形”,例如,圖1中正方形ABCD是⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”.
(1)圖2中,△ABM中,BA=BM,∠ABM=90°,在圖中畫(huà)出⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABCD”.
(2)若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)上,它的橫坐標(biāo)是2,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B,若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”,求k的取值范圍.
(3)若點(diǎn)A是直線y=﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B,若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”,求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】經(jīng)過(guò)舉國(guó)上下抗擊新型冠狀病毒的斗爭(zhēng),疫情得到了有效控制,國(guó)內(nèi)各大企業(yè)在2月9日后紛紛進(jìn)入復(fù)工狀態(tài).為了了解全國(guó)企業(yè)整體的復(fù)工情況,我們查找了截止到2020年3月1日全國(guó)部分省份的復(fù)工率,并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了一些信息:
a.截止3月1日20時(shí),全國(guó)已有11個(gè)省份工業(yè)企業(yè)復(fù)工率在90%以上,主要位于東南沿海地區(qū),位居前三的分別是貴州(100%)、浙江(99.8%)、江蘇(99%).
b.各省份復(fù)工率數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖1(數(shù)據(jù)分成6組,分別是40<x≤50;
50<x≤60;60<x≤70;70<x≤80;80<x≤90;90<x≤100):
c.如圖2,在b的基礎(chǔ)上,畫(huà)出扇形統(tǒng)計(jì)圖:
d.截止到2020年3月1日各省份的復(fù)工率在80<x≤90這一組的數(shù)據(jù)是:
81.3 | 83.9 | 84 | 87.6 | 89.4 | 90 | 90 |
e.截止到2020年3月1日各省份的復(fù)工率的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:
日期 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) |
截止到2020年3月1日 | 80.79 | m | 50,90 |
請(qǐng)解答以下問(wèn)題:
(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中50<x≤60這組的圓心角度數(shù)是 度(精確到0.1).
(3)中位數(shù)m的值是 .
(4)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表簡(jiǎn)述國(guó)內(nèi)企業(yè)截止3月1日的復(fù)工率分布特征.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AC,BD交于點(diǎn)O,且AO=BO.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)∠ADB的角平分線DE交AB于點(diǎn)E,當(dāng)AD=3,tan∠CAB=時(shí),求AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=kx2+(2k+1)x+1(k為實(shí)數(shù)).
(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣2,﹣1)和點(diǎn)_____;
(2)對(duì)于任意正實(shí)數(shù)k,當(dāng)x>m時(shí),y隨著x的增大而增大,寫(xiě)出一個(gè)滿足題意的m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地的一座人行天橋如圖所示,天橋高為6米,坡面BC的坡度為1:1,為了方便行人推車(chē)過(guò)天橋,有關(guān)部門(mén)決定降低坡度,使新坡面的坡度為1:.
(1)求新坡面的坡角∠CAB的度數(shù);
(2)原天橋底部正前方8米處(PB的長(zhǎng))的文化墻PM是否需要拆除?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】題目:某校七年級(jí)學(xué)生乘車(chē)去參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),若每輛客車(chē)乘50人,還有12人不能上車(chē);若每輛客車(chē)乘55人,則最后一輛空了8個(gè)座位,求該校租這種客車(chē)的輛數(shù):
根據(jù)題意,小明、小紅分別列出了尚不完整的方程如下:
小明列出不完整的方程為
小紅列出不完整的方程為
(說(shuō)明:其中“”表示運(yùn)算符號(hào),“”表示數(shù)字):
(1)小明所列方程中表示的意義是________________________;
小紅所列方程中表示的意義是___________________________;
(2)選擇兩位同學(xué)的其中一位學(xué)生的做法,將其補(bǔ)充完整,并完整地解答這道題.
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