【題目】在正方形ABCD中,DE為正方形的外角∠ADF的角平分線,點(diǎn)G在線段AD上,過點(diǎn)G作PG⊥DE于點(diǎn)P,連接CP,過點(diǎn)D作DQ⊥PC于點(diǎn)Q,交射線PG于點(diǎn)H.
(1)如圖1,若點(diǎn)G與點(diǎn)A重合.
①依題意補(bǔ)全圖1;
②判斷DH與PC的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)如圖2,若點(diǎn)H恰好在線段AB上,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)寫出求DP長(zhǎng)的思路(可以不寫出計(jì)算結(jié)果).
【答案】
(1)解:①依題意補(bǔ)全圖1,如圖1所示:
②DH=PC,理由如下:
∵DE為正方形的外角∠ADF的角平分線,
∴∠EDF=∠ADE=45°,
∵PG⊥DE于點(diǎn)P,
∴∠DAP=45°,
∴∠HAD=135°,∠PDC=135°,
∴∠HAD=∠PDC,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD=CD,
∵DQ⊥PC,
∴∠CDQ+∠DCQ=90°,
∵∠ADQ+∠CDQ=90°,
∴∠ADQ=∠DCQ,
在△HAD和△PDC中,
,
∴△HAD≌△PDC(ASA),
∴DH=CP
(2)解:求DP長(zhǎng)的思路如下:如圖2所示:
a、與②同理得:∠HGD=∠PDC,∠ADQ=∠DCP,
∴△HGD∽△PDC;
b、由②可知△GPD為等腰直角三角形,
∴∠AGH=∠PGD=45°,
∴△AGH為等腰直角三角形,
設(shè)DP=PG=x,則GD= x,AG=1﹣ x,GH= ﹣2x;
c、由△HGD∽△PDC得: ,
即 ,
解得:x= (負(fù)值舍去),
∴DP=
【解析】(1)①依題意補(bǔ)全圖形即可。
②由正方形的性質(zhì)和角平分線得出∠EDF=∠ADE=45°,再證出∠HAD=∠PDC,∠ADQ=∠DCQ,根據(jù)ASA證明△HAD≌△PDC,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可。
(2)思路如下:a、與②同理可證∠HGD=∠PDC,∠ADQ=∠DCP,可證△HGD∽△PDC;b、由②可知△GPD為等腰直角三角形,根據(jù)已知條件易證△AGH為等腰直角三角形,可設(shè)DP=PG=x,用含x的代數(shù)式分別表示出GD、AG、GH的長(zhǎng)。c、由△HGD∽△PDC得出比例式,解方程即可求得DP的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】掌握角的平分線和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠1=80°,∠2=100°,∠C=∠D.
(1)判斷AC與DF的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠C比∠A大20°,求∠F的度數(shù).
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【題目】某地氣象資料表明:當(dāng)?shù)乩子瓿掷m(xù)的時(shí)間t(h)可以用下面的公式來估計(jì):t2=,其中d(km)是雷雨區(qū)域的直徑.
(1)如果雷雨區(qū)域的直徑為9km,那么這場(chǎng)雷雨大約能持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間?
(2)如果一場(chǎng)雷雨持續(xù)了1h,那么這場(chǎng)雷雨區(qū)域的直徑大約是多少(結(jié)果精確到0.1km)?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,則下列結(jié)論:①DE=CD;②AD平分∠CDE;③∠BAC=∠BDE;④BE+AC=AB,其中正確的是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】如圖,△ABC中,D是BC的中點(diǎn),過D點(diǎn)的直線GF交AC于F,交AC的平行線BG于G點(diǎn),DE⊥DF,交AB于點(diǎn)E,連結(jié)EG、EF.
(1)求證:BG=CF.
(2)請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,lA、lB分別表示A步行與B騎車在同一路上行駛的路程S與時(shí)間t的關(guān)系.
(1)B出發(fā)時(shí)與A相距_____千米.
(2)走了一段路后,自行車發(fā)生故障進(jìn)行修理,所用的時(shí)間是____小時(shí).
(3)B出發(fā)后_____小時(shí)與A相遇.
(4)求出A行走的路程S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.(寫出計(jì)算過程)
(5)請(qǐng)通過計(jì)算說明:若B的自行車不發(fā)生故障,保持出發(fā)時(shí)的速度前進(jìn),何時(shí)與A相遇?
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【題目】在解不等式|x+1|>2時(shí),我們可以采用下面的解答方法:
①當(dāng)x+1≥0時(shí),|x+1|=x+1.
∴由原不等式得x+1>2.∴可得不等式組
∴解得不等式組的解集為x>1.
②當(dāng)x+1<0時(shí),|x+1|=﹣(x+1).
∴由原不等式得﹣(x+1)>2.∴可得不等式組
∴解得不等式組的解集為x<﹣3.
綜上所述,原不等式的解集為x>1或x<﹣3.
請(qǐng)你仿照上述方法,嘗試解不等式|x﹣2|≤1.
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【題目】已知二次函數(shù)y=mx2﹣(m+2)x+2(m≠0).
(1)求證:此二次函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn);
(2)如果此二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.
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【題目】某公司要把一臺(tái)機(jī)器運(yùn)往外地,現(xiàn)有兩種運(yùn)輸方式可供選擇;
方式一:使用快遞公司運(yùn)輸,裝卸費(fèi)元,另外每千米再加收元;
方式二:使用貨車運(yùn)輸,裝卸費(fèi)元,另外每千米再加收元.
(1)若運(yùn)輸路程是千米,請(qǐng)用含的代數(shù)式分別表示兩種運(yùn)輸方式的總費(fèi)用;
(2)若兩種運(yùn)輸方式的總費(fèi)用相同,求運(yùn)輸這臺(tái)機(jī)器的路程.
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