Question

（11·漳州）（滿分13分）如圖，直線y＝－2x＋2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．

（1）填空：點C的坐標(biāo)是(_  ▲  ，_  ▲  )，
點D的坐標(biāo)是(_  ▲  ，_  ▲  )；
（2）設(shè)直線CD與AB交于點M，求線段BM的長；
（3）在y軸上是否存在點P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，
請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）點C的坐標(biāo)是(0，1)，點D的坐標(biāo)是(－2，0)                      ………………4分
（2）方法一：由（1）可知CD＝＝，BC＝1
又∠1＝∠5，∠4＝∠3
∴△BMC∽△DOC                                    ………………6分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………8分
方法二：設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b
由（1）得
解得
∴直線CD的解析式為y＝ x＋1
又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO
∴△BMC∽△DOC                                    ………………6分
∴＝ 即＝
∴BM＝                                          ………………8分
∵ ∴  
∴M的坐標(biāo)為(，)                                    ………………6分
過點M作ME⊥y軸于點E，則ME＝，BE＝
∴BM＝＝                             ………………8分
（3）存在                                                        ………………9分
分兩種情況討論：
①以BM為腰時
∵BM＝，又點P在y軸上，且BP＝BM
此時滿足條件的點P有兩個，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)……………11分
過點M作ME⊥y軸于點E，∵∠BMC＝90°，
則△BME∽△BCM
∴＝
∴BE＝＝
又∵BM＝BP
∴PE＝BE＝
∴BP＝
∴OP＝2－＝
此時滿足條件的點P有一個，它是P₃ (0，)                       ……………12分
②以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F，
由（2）得∠BMC＝90°，
∴PF∥CM
∵F是BM的中點，
∴BP＝BC＝
∴OP＝
此時滿足條件的點P有一個，它是P₄ (0，) 
綜上所述，符合條件的點P有四個，它們是：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，)、P₄ (0，)                                                     ……………13分

解析