Question

【題目】四邊形ABCD中，E是AB邊上的一個動點（不與點A、B重合），連接DE，過點E作EP⊥DE．

（1）如圖1，當四邊形ABCD是正方形時，點A關于直線DE的對稱點為點F，連接EF并延長交BC于點G；射線DG交EP于點H，連接BH．

①求證：GF＝GC

②請求出的值；

（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，且AD＝kAB，點H是射線EP上的一點，連接BH，當DE＝kEH時，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②；（2）．

【解析】

（1）①如圖1，連接DF，根據對稱得：△ADE≌△FDE，再由HL證明Rt△DFG≌Rt△DCG，即可得出結論；

②如圖2，作輔助線，構建AM＝AE，先證明∠EDG＝45°，得DE＝EH，證明△DME≌△EBH，則EM＝BH，根據等腰直角的性質得：EM＝ AE，即可得出結論；

（2）先構建AM＝kAE，進而得出 ＝k，即可得出，進而判斷出△MDE∽△BEH，得出 ＝k，再判斷出ME＝ AE，即可得出結論．

證明：（1）①如圖1，連接DF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，

∵點A關于直線DE的對稱點為F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，

∴∠DFG＝90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵ ，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴GF＝GC；

②如圖2，在線段AD上截取AM，使AM＝AE，

∵AD＝AB，

∴DM＝BE，

由①知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵∠ADC＝90°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，

∴2∠2+2∠3＝90°，

∴∠2+∠3＝45°，

即∠EDG＝45°，

∵EH⊥DE，

∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，

∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，

∴∠1＝∠BEH，

在△DME和△EBH中，

∵ ，

∴△DME≌△EBH（SAS），

∴EM＝BH，

Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，

∴EM＝AE，

∴BH＝AE，

∴＝；

（2）如圖3，

在AD上截取AM，使AM＝kAE，

∵AD＝kAB，

∴DM＝AD﹣AM＝kAB﹣kAE＝k（AB﹣AE）＝kBE，

∴＝k

∵DE＝kEH，

∴＝k，

∴，

同①的方法得，∠MDE＝∠BEH，

∴△MDE∽△BEH，

∴ ＝k，

在Rt△EAM中，ME＝，

∴，

∴＝．