【題目】如圖,將Rt△ABO放在平面直角坐標系中,點A、B分別在y軸、x軸上,∠BAO=30°,BC是∠ABO的角平分線,交y軸于點C(0,﹣2),CD⊥AB,垂足為D
(1)求BC的長度.
(2)點P(0,n)是線段AO上的任意一點(點P不與A、C、O重合),以BP為邊,在BD的下方畫出∠BPE=60°,PE交CD的延長線于點E,在備用圖中畫出圖形,并求CE的長(用含n的式子表示).
【答案】(1)BC=4;(2) EC=2﹣n.
【解析】
(1)根據(jù)已知條件可知OC=2, Rt△BOC中,∠OBC=∠DBC=30°,BC=2OC即可得出答案;(2)分兩種情況,當點P在線段OC上時,在BC上取一點F,使得PF=PC。證明△PCF是等邊三角形,得出∠PCE=∠PFB=120°,然后證明△EPC≌△BPF,得到CE=FB,再根據(jù)P點的坐標知道0P=-n,,PC=CF=2-(-n)=2+n,CE=BF=BC-CF計算即可;當點P在線段AC上時,在BC的延長線上取一點G,使得PG=CP,同理可證. △PCG是等邊三角形, △EPC≌△BPG,可得出CE=GB=BC+CF,再代入n計算即可.
(1)∵點C(0,﹣2),
∴OC=2,
在Rt△ABO中,∵∠BAO=30°,BC是∠ABO的平分線,∠BOC=90°,
∴∠OBC=∠DBC=30°,
∴BC=2OC=4.
(2)∵P(0,n),
∴OP=﹣n,
①如圖1中,當點P在線段OC上時,在BC上取一點F,使得PF=PC.
∵∠BOC=90°,CD⊥AB,∠OBC=∠DBC=30°,
∴∠BCO=∠BCE=60°,
∵PF=CF,
∴△PCF是等邊三角形,
∴∠PFC=∠FPC=60°,PC=CF,
∴∠BCO+∠BCE=180°﹣∠PFC,即∠PCE=∠PFB=120°,
∵∠FPC=∠BPE=60°,
∴∠EPC=∠BPF,
∴△EPC≌△BPF(ASA),
∴CE=FB,
∵OP=﹣n,
∴CF=PC=OC﹣OP=2+n,
∴CE=FB=BC﹣CF=4﹣(2+n)=2﹣n.
②當點P在線段AC上時,在BC的延長線上取一點G,使得PG=CP.
∵∠BCO=∠BCE=60°,
∴∠PCG=∠BCO=60°,∠PCE=∠180°﹣60°﹣60°=60°,
∵PG=CP,
∴△PCG是等邊三角形,
∴∠PGC=∠GPC=60°,PC=CG,即∠PCE=∠PGB,
∵∠BPE=∠GPC=60°,
∴∠EPC=∠BPG,
∴△EPC≌△BPG(ASA),
∴CE=GB,
∵OP=﹣n,
∴CG=PC=OP﹣OC=﹣n﹣2,
∴CE=GB=BC+CF=4+(﹣n﹣2)=2﹣n,
綜上所述,EC=2﹣n.
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【題目】已知點 C為線段 AB上一點,分別以 AC、BC為邊在線段 AB同側(cè)作△ACD和△BCE,且 CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直線 AE與 BD交于點 F
(1)如圖 1,若∠ACD=60°,則∠AFD=
(2)如圖 2,若∠ACD=α,則∠AFB= (用含α的式子表示),并說明理由。
(3) 將圖 1 中的△ACD繞點 C順時針旋轉(zhuǎn)如圖 3,連接 AE、AB、BD,∠ABD=80°,求∠EAB的度數(shù).
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【題目】已知有兩輛玩具車進行30米的直跑道比賽,兩車從起點同時出發(fā),A車到達終點時,B車離終點還差12米,A車的平均速度為2.5米/秒.
(1)求B車的平均速度;
(2)如果兩車重新比賽,A車從起點退后12米,兩車能否同時到達終點?請說明理由;
(3)在(2)的條件下,若調(diào)整A車的平均速度,使兩車恰好同時到達終點,求調(diào)整后A車的平均速度.
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【題目】如圖,∠1=∠2,若添加一個條件后,仍無法判定△ABC≌△ABD的是( 。
A.∠3=∠4B.∠C=∠DC.BC=BDD.AC=AD
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【題目】如圖,在Rt△ABC中∠ABC=90°,AC的垂直平分線交BC于D點,交AC于E點,OC=OD.
(1)若,DC=4,求AB的長;
(2)連接BE,若BE是△DEC的外接圓的切線,求∠C的度數(shù).
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【題目】如圖,△ABC是直角三角形,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm,點P從點A出發(fā),沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動;同時點Q從點A出發(fā),沿AC方向以1cm/s的速度向點C運動,其中一個動點到達終點,則另一個動點也停止運動,則△PAQ的最大面積是( 。
A. 8cm2 B. 9cm2 C. 16cm2 D. 18cm2
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【題目】如圖,在矩形MNPQ中,動點R從點N出發(fā),沿著N-P-Q-M方向移動至M停止,設(shè)R移動路程為x,MNR面積為y,那么y與x的關(guān)系如圖②,下列說法不正確的是( )
A.當x=2時,y=5B.矩形MNPQ周長是18
C.當x=6時,y=10D.當y=8時,x=10
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,斜邊AB的垂直平分線交AB于點D,交BC于點E,AE平分∠BAC,那么下列不成立的是( )
A.∠B=∠CAEB.∠DEA=∠CEAC.∠B=∠BAED.AC=2EC
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