Question

【題目】在正方形中，點(diǎn)是直線上動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，所在直線與所在直線交于點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．

①求證：；

②若，求的值；

（2）當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為4，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）或．

【解析】

（1）通過(guò)正方形的性質(zhì)和等量代換可得到，從而可用SAS證明，利用全等的性質(zhì)即可得出；

（2）先證明 ，則有 ，進(jìn)而可證明 ，得到，再利用得出 ，作 交EH于點(diǎn)P，則，利用相似三角形的性質(zhì)得出，則問(wèn)題可解；

（3）設(shè)，則 ，表示出EH,然后利用解出x的值，進(jìn)而可求EH的長(zhǎng)度；當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，畫(huà)出圖形，用同樣的方法即可求EH的長(zhǎng)度．

（1）①證明：∵四邊形ABCD，DEFG都是正方形

∴

∵

在和中，

②∵四邊形DEFG是正方形

在和中，

在和中，

∵

作 交EH于點(diǎn)P，則

（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時(shí)，

設(shè)，則

解得

∴

當(dāng)E在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖

∵四邊形ABCD，DEFG都是正方形

∴

∵

在和中，

∴點(diǎn)G在BC邊上

∵四邊形DEFG是正方形

在和中，

設(shè)，則

解得

∴

綜上所述，EH的長(zhǎng)度為或．