Question

已知x，y，z滿足

x+2y-z=15 x-y+2z=6

（1）求170x+170y-28的值；
（2）當(dāng)x，y，z為何值時，

78

x2+y2+z2

有最大值？并求出此時的最大值．

Answer 1

分析：（1））①×2+②，易得3x+3y=36，從而有x+y=12，把x+y的值整體代入所求代數(shù)式中計算即可；
（2）根據(jù)所給方程組，易求x=12-y，z=y-3，再把xy的值代入x²+y²+z²中，可得x²+y²+z²=3（y-5）²+78，可知當(dāng)y=5時，有最小值是78，當(dāng)x²+y²+z²=有最小值時，

78

x2+y2+z2

有最大值是1．

解答：解：（1）①×2+②，得3x+3y=36，
∴x+y=12，
∴170x+170y-28=170（x+y）-28=170×12-28=2012；

（2）由

x+2y-z=15 x-y+2z=6

得x+y=12，y-z=3，
∴x=12-y，z=y-3，
∴x²+y²+z²=（144-24y+y²）+y²+（y²-6y+9）=3y²-30y+153=3（y-5）²+78≥78，
當(dāng)x²+y²+z²=78時，

78

x2+y2+z2

有最大值，最大值為

78

78

=1，此時y=5，x=7，z=2．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是解方程，用y的代數(shù)式表示x、z，以及整體代入．