【題目】已知:如圖①,在平行四邊形ABCD中,AB=12,BC=6,AD⊥BD.以AD為斜邊在平行四邊形ABCD的內(nèi)部作Rt△AED,∠EAD=30°,∠AED=90°.
(1)求△AED的周長;
(2)若△AED以每秒2個單位長度的速度沿DC向右平行移動,得到△A0E0D0,當(dāng)A0D0與BC重合時停止移動,設(shè)運動時間為t秒,△A0E0D0與△BDC重疊的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(3)如圖②,在(2)中,當(dāng)△AED停止移動后得到△BEC,將△BEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°),在旋轉(zhuǎn)過程中,B的對應(yīng)點為B1,E的對應(yīng)點為E1,設(shè)直線B1E1與直線BE交于點P、與直線CB交于點Q.是否存在這樣的α,使△BPQ為等腰三角形?若存在,求出α的度數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在α=30°,75°或165°,使△BPQ為等腰三角形
【解析】
試題分析:(1)在Rt△ADE中,解直角三角形即可;
(2)在△AED向右平移的過程中:
(I)當(dāng)0≤t≤1.5時,如答圖1所示,此時重疊部分為一個三角形;
(II)當(dāng)1.5<t≤4.5時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;
(III)當(dāng)4.5<t≤6時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個五邊形.
(3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行探究,結(jié)論是:存在α(30°和75°),使△BPQ為等腰三角形.如答圖4、答圖5所示.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC=6.
在Rt△ADE中,AD=6,∠EAD=30°,
∴AE=ADcos30°=3,DE=ADsin30°=3,
∴△AED的周長為:6+3+3=9+3.
(2)在△AED向右平移的過程中:
(I)當(dāng)0≤t≤1.5時,如答圖1所示,此時重疊部分為△D0NK.
∵DD0=2t,∴ND0=DD0sin30°=t,NK=ND0÷tan30°=t,
∴S=S△D0NK=ND0NK=tt=t2;
(II)當(dāng)1.5<t≤4.5時,如答圖2所示,此時重疊部分為四邊形D0E0KN.
∵AA0=2t,∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t,
∴A0N=A0B=6﹣t,NK=A0Ntan30°=(6﹣t).
∴S==×3×3﹣×(6﹣t)×(6﹣t)=t2+t﹣;
(III)當(dāng)4.5<t≤6時,如答圖3所示,此時重疊部分為五邊形D0IJKN.
∵AA0=2t,∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t=D0C,
∴A0N=A0B=6﹣t,D0N=6﹣(6﹣t)=t,BN=A0Bcos30°=(6﹣t);
易知CI=BJ=A0B=D0C=12﹣2t,∴BI=BC﹣CI=2t﹣6,
S=S梯形BND0I﹣S△BKJ= [t+(2t﹣6)]·(6﹣t)﹣·(12﹣2t)(12﹣2t)=t2+t﹣.
綜上所述,S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:
.
(3)存在α,使△BPQ為等腰三角形.
理由如下:經(jīng)探究,得△BPQ∽△B1QC,
故當(dāng)△BPQ為等腰三角形時,△B1QC也為等腰三角形.
(I)當(dāng)QB=QP時(如答圖4),
則QB1=QC,∴∠B1CQ=∠B1=30°,
即∠BCB1=30°,
∴α=30°;
(II)當(dāng)BQ=BP時,則B1Q=B1C,
若點Q在線段B1E1的延長線上時(如答圖5),
∵∠B1=30°,∴∠B1CQ=∠B1QC=75°,
即∠BCB1=75°,
∴α=75°;
若點Q在線段E1B1的延長線上時(如答圖6),
∵∠CB1E1=30°,∴∠B1CQ=∠B1QC=15°,
即∠BCB1=180°﹣∠B1CQ=180°﹣15°=165°,
∴α=165°.
③當(dāng)PQ=PB時(如答圖7),則CQ=CB1,
∵CB=CB1,
∴CQ=CB1=CB,
又∵點Q在直線CB上,0°<α<180°,
∴點Q與點B重合,
此時B、P、Q三點不能構(gòu)成三角形.
綜上所述,存在α=30,75°或165°,使△BPQ為等腰三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下面三行數(shù):
2,﹣4,8,﹣16,32,﹣64,…; ①
4,﹣2,10,﹣14,34,﹣62,…;②
1,﹣2,4,﹣8,16,﹣32,….③
(1)第①行第8個數(shù)為;第②行第8個數(shù)為;第③行第8個數(shù)為;
(2)第③行中是否存在連續(xù)的三個數(shù),使得三個數(shù)的和為768?若存在,則求出這三數(shù);不存在,則說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個多邊形的內(nèi)角和與它的外角和的比為5:2,則這個多邊形的邊數(shù)為:
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點,P是線段AB上一動點(端點除外),過P作PD∥AC,交BC于點D,連接CP.
(1)直接寫出A、B、C的坐標(biāo);
(2)求△PCD面積的最大值,并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時,以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中, 厘米, 厘米,點D為AB的中點.如果點P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.當(dāng)點Q的運動速度為_______ 厘米/秒時,能夠在某一時刻使△BPD與△CQP全等.
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