Question

已知：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，拋物線的圖像經(jīng)過點(diǎn)A()、B().

(1)求這個(gè)拋物線的解析式；

(2) 設(shè)（1）中拋物線與軸的另一交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D，

試求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積；

(3) P是線段OC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥軸，與拋物線交于H點(diǎn)，

若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5 

（2）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0）．點(diǎn)D（﹣2，9）；15

（3）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）

【解析】

試題分析：（1）解方程x²﹣6x+5=0，

得x₁=5，x₂=1

由m＜n，有m=1，n=5

所以點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（0，5）．

將A（1，0），B（0，5）的坐標(biāo)分別代入y=﹣x²+bx+c．

得   解這個(gè)方程組，得

所以，拋物線的解析式為y=﹣x²﹣4x+5

（2）由y=﹣x²﹣4x+5，令y=0，得﹣x²﹣4x+5=0

解這個(gè)方程，得x₁=﹣5，x₂=1

所以C點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣5，0）．由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算，

得點(diǎn)D（﹣2，9）

過D作x軸的垂線交x軸于M．

則S_△DMC=×9×（5﹣2）=

S_梯形MDBO=×2×（9+5）=14，

S_△BOC=×5×5=

所以，S_△BCD=S_梯形MDBO+S_△DMC﹣S_△BOC=14+﹣=15

答：點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和△BCD的面積分別是：（﹣5，0）、（﹣2，9）、15；

（3）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）

因?yàn)榫�段BC過B、C兩點(diǎn)，所以BC所在的直線方程為y=x+5．

那么，PH與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)為E（a，a+5），

PH與拋物線y=﹣x²﹣4x+5的交點(diǎn)坐標(biāo)為H（a，﹣a²﹣4a+5）．

由題意，得①EH=EP，

即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）

解這個(gè)方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去）

②EH=EP，即（﹣a²﹣4a+5）﹣（a+5）=（a+5）

解這個(gè)方程，得a=﹣或a=﹣5（舍去），

P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）或（﹣，0）

考點(diǎn)：拋物線

點(diǎn)評：本題考查拋物線，掌握拋物線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，掌握待定系數(shù)法，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)