【題目】如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),在AC上取E點(diǎn),使∠ADE=45度.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng):△ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)y=x2﹣x+1.(3)AE的長(zhǎng)為2﹣或.
【解析】
試題分析:此題有三問,(1)證明△ABD∽△DCE,已經(jīng)有∠B=∠C,只需要再找一對(duì)角相等就可以了;
(2)由(1)證得△ABD∽△DCE,有相似就線段成比例,于是利用(1)的結(jié)果可證得(2);
(3)當(dāng)△ABD∽△DCE時(shí),可能是DA=DE,也可能是ED=EA,所以要分兩種情況證明結(jié)論.
(1)證明:∵△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,
∴∠ABC=∠ACB=45°.
∵∠ADE=45°,
∴∠BDA+∠CDE=135°.
又∠BDA+∠BAD=135°,
∴∠BAD=∠CDE.
∴△ABD∽△DCE.
(2)解:∵△ABD∽△DCE,
∴;
∵BD=x,
∴CD=BC﹣BD=﹣x.
∴,
∴CE=x﹣x2.
∴AE=AC﹣CE=1﹣(x﹣x2)=x2﹣x+1.
即y=x2﹣x+1.
(3)解:∠DAE<∠BAC=90°,∠ADE=45°,
∴當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),第一種可能是AD=DE.
又∵△ABD∽△DCE,
∴△ABD≌△DCE.
∴CD=AB=1.
∴BD=﹣1.
∵BD=CE,
∴AE=AC﹣CE=2﹣.
當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),第二種可能是ED=EA.
∵∠ADE=45°,
∴此時(shí)有∠DEA=90°.
即△ADE為等腰直角三角形.
∴AE=DE=AC=.
當(dāng)AD=EA時(shí),點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,不合題意,所以舍去,
因此AE的長(zhǎng)為2﹣或.
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