Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=a（x2﹣4mx﹣12m2）（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C（0，﹣6），點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上，CD∥AB，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的代數(shù)式表示a；

（2）求證：為定值；

（3）設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，連接FC并延長(zhǎng)交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)G，判斷以線段GF、AD、AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積是否能為24（+1）m2﹣48m﹣72+24，能則求出m；不能則說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）見(jiàn)解析；（3）m=3．

【解析】

（1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=a（x2﹣4mx﹣12m2）中，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N．首先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，由△ADM∽△AEN．推出設(shè)E坐標(biāo)為可得推出x=8m，可得E（8m，10），由AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，由此即可解決問(wèn)題．
（3）如圖2，記二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為（m，-4），過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H．連接FC并延長(zhǎng)，與x軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為所求的點(diǎn)G．
由推出即得到OG=6m，可得

AD：GF：AE=3：4：5，由此即可解決問(wèn)題．

（1）將C（0，﹣6）代入二次函數(shù)y=a（x2﹣4mx﹣12m2），

則﹣6=a（0﹣0﹣12m2），

解得a=；

（2）證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)D、E分別作x軸的垂線，垂足為M、N，

由a（x2﹣4mx﹣12m2）=0，

解得x1=﹣2m，x2=6m，

則點(diǎn)A（﹣2m，0），B（6m，0），

∵CD∥AB，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4m，﹣6），

∵AB平分∠DAE，

∴∠DAM=∠EAN，

∴∠DMA=∠ENA=90°，

∴△ADM∽△AEN，

∴

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為

∴x=8m，

∴E（8m，10），

∵AM=AO+OM=2m+4m=6m，AN=AO+ON=2m+8m=10m，

∴ 即為定值．

（3）如圖2，記二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為（2m，﹣8），過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵

∴即

∴OG=6m，

∵

∴

∵

∴AD：GF：AE=3：4：5，

∴以線段GF，AD，AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，

∴以線段GF，AD，AE的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積為

∴

∴m=3或m=﹣1，

∵m＞0，

∴m=3．