Question

在直角坐標(biāo)系中，直線L₁的解析式為y=2x-1，直線L₂過原點(diǎn)且L₂與直線L₁交于點(diǎn)P（-2，a）．
（1）試求a的值；
（2）試問（-2，a）可以看作是怎樣的二元一次方程組的解；
（3）設(shè)直線L₁與x軸交于點(diǎn)A，你能求出△APO的面積嗎？試試看；
（4）在直線L₁上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M到x軸和y軸的距離相等？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，因此可將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線L₁的解析式中，求出a的值．
（2）由于直線L₂過原點(diǎn)，因此一次函數(shù)L₂是個(gè)正比例函數(shù)，根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，可確定其解析式．聯(lián)立兩個(gè)直線解析式所組成的方程組的解，即為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）根據(jù)直線L₁的解析式，可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；以O(shè)A為底，P點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值為高，可求出△OAP的面積．
（4）若點(diǎn)M到x軸、y軸的距離相等，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)有兩種情況：
①橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等；②橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；因此本題要分情況討論．

解答：解：（1）把（-2，a）代入y=2x-1，得：-4-1=a，
解得a=-5．

（2）由（1）知：點(diǎn)P（-2，-5）；
則直線L₂的解析式是y=

5

2

x；
因此（-2，a）可以看作二元一次方程組

y=2x-1 y= 5 2 x

的解．

（3）直線L₁與x軸交于點(diǎn)A（

1

2

，0），
所以S_△APO=

1

2

×

1

2

×5=

5

4

．

（4）存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到x軸和y軸的距離相等．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b）；
①當(dāng)a=b時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，a）；代入y=2x-1得：2a-1=a，a=1；即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1）；
②當(dāng)a=-b時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，-a）；代入y=2x-1得：2a-1=-a，a=

1

3

；即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

1

3

，-

1

3

）．
綜上所述，存在符合條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，1）或（

1

3

，-

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)開放性問題，綜合考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積求法等知識(shí)．解答（4）題時(shí)需注意，由于點(diǎn)M的坐標(biāo)存在兩種情況，因此要分類討論，以免漏解．