Question

【題目】如圖1所示，在正方形ABCD中，AB=1， 是以點(diǎn)B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點(diǎn)E是邊AD上的動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合），過E作 所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F，G為切點(diǎn)．
（1）求證：EA=EG；
（2）設(shè)AE=x，F(xiàn)C=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；
（3）如圖2所示，將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF，連接AD1 ， D1D，試探索：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到何處時，△AD1D與△ED1F相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=90°，AD=CD=AB=1，

∴AD⊥BA，

∴AD是圓B的切線，

∵EG是圓B的切線，

∴EA=EG

（2）解：∵EF切圓B于點(diǎn)G，

∴EA=EG，F(xiàn)C=FG．

∵AE=x，F(xiàn)C=y

∴EF=x+y，DE=1﹣x，DF=1﹣y，

在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得：（x+y）2=（1﹣x）2+（1﹣y）2

∴y= （0＜x＜1）

（3）解：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AD的中點(diǎn)時，△AD1D與△ED1F相似；理由如下：

設(shè)直線EF交線段DD1于點(diǎn)H，由題意，得：

△EDF≌△ED1F，EF⊥DD1且DH=D1H．

∵AE= ，AD=1，

∴AE=ED．

∴EH∥AD1，∠AD1D=∠EHD=90°．

又∵∠ED1F=∠EDF=90°，

∴∠FD1D=∠AD1D．

∴D1F∥AD，

∴∠ADD1=∠DD1F=∠EFD=45°，

∴△ED1F∽△AD1D．

【解析】（1）證出AD是圓B的切線，由切線長定理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)切線長定理、正方形的性質(zhì)得到有關(guān)的線段用x，y表示，再根據(jù)勾股定理建立函數(shù)關(guān)系式．（3）根據(jù)切線長定理找到角之間的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到兩個角對應(yīng)相等，從而證明三角形相似．