Question

【題目】“面積法”是指利用圖形面積間的等量關系尋求線段間等量關系的一種方法．例如：在△ABC中，AB＝AC，點P是BC所在直線上一個動點，過P點作PD⊥AB、PE⊥AC，垂足分別為D、E，BF為腰AC上的高．如圖①，當點P在邊BC上時，我們可得如下推理：

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP

∴ACBF＝ABPD+ACPE

∵AB＝AC

∴ACBF＝AC（PD+PE）

∴BF＝PD+PE

（1）（變式）如圖②，在上例的條件下，當點P運動到BC的延長線上時，試探究BF、PD、PE之間的關系，并說明理由．

（2）（遷移）如圖③，點P是等邊△ABC內部一點，作PD⊥AB、PE⊥BC、PF⊥AC，垂足分別為D、E、F，若PD＝1，PE＝2，PF＝4．求△ABC的邊長．

（3）（拓展）若點P是等邊△ABC所在平面內一點，且點P到三邊所在直線的距離分別為2、3、6．請直接寫出等邊△ABC的高的所有可能

Answer 1

【答案】（1）BF＝PD﹣PE，理由見解析；（2）；（3）11，7，5，1．

【解析】

（1）如圖②，連接AP，根據S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP列式，即可得到結論；

（2）如圖③，過A作AH⊥BC于H，連接PA，PB，PC，根據面積法求出AH＝PD＋PE＋PF＝7，然后根據等邊三角形的性質得到CH＝BC＝AC，在Rt△AHC中利用勾股定理構建方程即可得到結論；

（3）如圖④，設等邊△ABC的高為h，點P到△ABC的三邊的距離為h1＝2，h2＝3，h3＝6，分三種情況討論即可得到結論．

解：（1）BF＝PD﹣PE，

如圖②，連接AP，

∵S△ABC＝S△ABP﹣S△ACP，

∴ACBF＝ABPD﹣ACPE，

∵AB＝AC，

∴BF＝PD﹣PE；

（2）如圖③，過A作AH⊥BC于H，連接PA，PB，PC，

∵S△ABC＝S△ABP+S△ACP+S△BCP，即AHBC＝PDAB+PFAC+PEBC，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∴AH＝PD+PE+PF＝7，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴CH＝BC＝AC，

在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，

∴AH2+CH2＝AC2，即49＋AC2＝AC2，

∴AC＝＝；

（3）如圖④，設等邊△ABC的高為h，點P到△ABC的三邊的距離為h1＝2，h2＝3，h3＝6，

當P在i區(qū)域時，由（2）可得h＝h1+h2+h3＝2+3+6＝11；

當P在iii區(qū)域時，如圖④－1，PF＝h1＝2，PE＝h2＝3，PG＝h3＝6，連接

∵S△ABC＝S△PBC－S△ACP－S△ABP＝hBC＝PGBC－PEAC－PFAB，

∵AB＝AC＝BC，

∴h＝h3﹣h2﹣h1＝1，

當P在ii區(qū)域時，同理可得h＝h1+h3﹣h2＝2+6﹣3＝5或h＝h2+h3﹣h1＝3+6﹣2＝7，

綜上所述，等邊△ABC的高的所有可能的值為11，1，7，5．