Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，直線l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足為D．
（1）求證：AC₁•AC₂=AB•AD．
（2）若將直線l向上平移（如圖2），交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂與直徑AB相交（交點(diǎn)不與A、B重合），其他條件不變，請(qǐng)你猜想，AC₁、AC₂、AB、AD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）若將直線l平移到與⊙O相切時(shí)，切點(diǎn)為C，其他條件不變，請(qǐng)你在圖3上畫(huà)出變化后的圖形，標(biāo)好相應(yīng)的字母并猜想AC、AB、AD的關(guān)系是什么？（只寫(xiě)出關(guān)系，不加以說(shuō)明）

Answer 1

分析：（1）本題要通過(guò)構(gòu)建相似三角形來(lái)求解．連接AC₁、BC₂，通過(guò)證△ABC₂∽△AC₁D可得出所求結(jié)論．（所證的兩個(gè)三角形中，同弧對(duì)的圓周角相等以及一組直角）；
（2）結(jié)論同（1）也是通過(guò)證△ABC₂∽△AC₁D來(lái)得出所求結(jié)論；
（3）當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，C₁、C₂重合，因此結(jié)論變?yōu)锳C²=AB•AD，可通過(guò)證三角形ABC和ACD相似，通過(guò)弦切角和一組直角來(lái)證得兩三角形相似．

解答：（1）證明：連接BC₂．
∵AB為直徑，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（2）解：當(dāng)l向上平移后，連接BC₂．
∵AB為直徑，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（3）解：AC²=AB•AD．
畫(huà)草圖．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)相似三角形來(lái)求線段成比例是解題的基本思路．