如圖，在正方形ABCD中，P是CD上一動點（點P與C、D不重合），三角板的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始終經(jīng)過點A，另一直角邊與BC交于點E．
（1）△ADP與△PCE相似嗎？如果相似，請寫出證明過程．
（2）當點P位于CD的中點時，求△PCE與△ADP的面積比．
【答案】分析：（1）由于∠APE是直角，易證得∠APD和∠CEP都是∠CPE的余角，所以這兩角相等，由此可證得這兩個直角三角形相似；
（2）若P是CD的中點，則CP：AD=1：2，即△CPE和△ADP的相似比是1：2；根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得兩三角形的面積比．
解答：解：（1）△ADP∽△PCE（1分）
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°（2分）
∴∠DAP+∠DPA=90°（3分）
又∵∠APE=90°，
∴∠CPE+∠DPA=90°，（4分）
∴∠DAP=∠CPE（6分）
∴△ADP∽△PCE；（7分）

（2）當點P位于CD的中點時，DP=PC=DC=AD（8分）
∵△ADP∽△PCE，
∴．（10分）
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正方形網(wǎng)格上有△ABC，△DEF，說明這兩個三角形相似，并求出它們的相似比．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線精英家教網(wǎng)，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直徑AC的長度；
（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

23、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，點E是邊AC的中點，連接DE，DE的延長線與邊BC相交于點F，AG∥BC，交DE于點G，連接AF、CG．
（1）求證：AF=BF；
（2）如果AB=AC，求證：四邊形AFCG是正方形．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+
3
．
（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；
（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE，且正方形對角線交于點O，連接OC，已知AC=5，OC=6
2
，求另一直角邊BC的長．

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