Question

【題目】已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，現(xiàn)按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，a為半徑（a＞ AC）作弧，兩弧分別交于M，N兩點(diǎn)；
②過M，N兩點(diǎn)作直線MN交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E；
③將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，設(shè)點(diǎn)D的像為點(diǎn)F．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D中直線標(biāo)出點(diǎn)F并連接CF；
（2）求證：四邊形BCFD是平行四邊形；
（3）當(dāng)∠B為多少度時(shí)，四邊形BCFD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示：

（2）解：∵根據(jù)作圖可知：MN垂直平分線段AC，

∴D、E為線段AB和AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE= BC，

∵將△ADE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)D的像為點(diǎn)F，

∴EF=ED，

∴DF=BC，

∵DE∥BC，

∴四邊形BCFD是平行四邊形

（3）解：當(dāng)∠B=60°時(shí)，四邊形BCFD是菱形；

∵∠B=60°，

∴BC= AB，

∵DB= AB，

∴DB=CB，

∵四邊形BCFD是平行四邊形，

∴四邊形BCFD是菱形

【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）首先根據(jù)作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可；（3）得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行判定即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行四邊形的判定和菱形的判定方法，掌握兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；任意一個(gè)四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對(duì)角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對(duì)角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．