Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（6，﹣6），且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B（0，﹣）作x軸的平行線l，點(diǎn)C在直線l上，點(diǎn)D在y軸左側(cè)的拋物線上，連接DB，以點(diǎn)D為圓心，以DB為半徑畫(huà)圓，⊙D與x軸相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），連接CN，當(dāng)MN=CN時(shí)，求銳角∠MNC的度數(shù)；

（3）如圖3，在（2）的條件下，平移直線CN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與拋物線相交于另一點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線m，過(guò)點(diǎn)（﹣3，0）作y軸的平行線n，直線m與直線n相交于點(diǎn)S，點(diǎn)R在直線n上，點(diǎn)P在EA的延長(zhǎng)線上，連接SP，以SP為邊向上作等邊△SPQ，連接RQ，PR，若∠QRS=60°，線段PR的中點(diǎn)K恰好落在拋物線上，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2；

（2）∠CNF=30°．

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（6，﹣6），且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線為y=ax2，點(diǎn)A代入求出a即可．

（2）如圖2中，作CF⊥MN于F，設(shè)⊙D與x軸的交點(diǎn)為（x，0），D（m，﹣ m2），根據(jù)半徑相等列出方程，求出M、N坐標(biāo)，推出MN=2，在Rt△CFN中，由CN=2CF推出∠FNC=30°即可解決問(wèn)題．

（3）如圖3中，由題意可知平移直線CN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線的解析式為y=x﹣8，記直線y=x﹣8與直線x=﹣3的交點(diǎn)為G，則G（﹣3，﹣9），由△SQR≌△PSH，推出SR=PG，RQ=SG，推出RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，記n與x軸的交點(diǎn)為M，則RM=b，由S（﹣3，﹣6），推出MS=6，可得P（6+b， b﹣6），再求出PR中點(diǎn)k坐標(biāo)，證明k在直線y=﹣上運(yùn)動(dòng)，由消去y得到x2+6x﹣27=0，x=3或﹣9（舍棄），x=3，代入x=+b得到b=2，由此即可解決問(wèn)題．

試題解析：（1）設(shè)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)A（6，﹣6），且以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線為y=ax2，

則﹣6=36a，

∴a=﹣，

∴y=﹣x2．

（2）如圖2中，作CF⊥MN于F，設(shè)⊙D與x軸的交點(diǎn)為（x，0），D（m，﹣ m2）．

則有（x﹣m）2+（m2）2=m2+（﹣m2+）2，

整理得x2﹣2mx+m2﹣3=0，

∴x=m+或m﹣，

∴N（m+，0），M（m﹣，0）

∴MN=2，

在Rt△CFN中，∵∠CFN=90°，CN=MN=2，CF=，

∴CN=2CF，

∴∠CNF=30°．

（3）如圖3中，

由題意可知平移直線CN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線的解析式為y=x﹣8，

記直線y=x﹣8與直線x=﹣3的交點(diǎn)為G，則G（﹣3，﹣9），

∵m∥x軸，且過(guò)點(diǎn)A（6，﹣6），

∴S（﹣3，﹣6），

∴SG=3，AS=9，

∴tan∠2==，

∴∠2=60°，

∴∠1=30°，

∵∠QRS=60°

∴∠QRS=∠2，

∵∠RSQ+∠QSP=∠2+∠SPG，∠QSP=∠2=60°，

∴∠3=∠4，

在△SQR和△PSG中，

，

∴△SQR≌△PSH

∴SR=PG，RQ=SG，

∴RQ=SG=3，作DQ⊥n于D，

∴QRD=60°，

∴DQ=DR=RQ=，

∴RD=QR=，

∵n是過(guò)（﹣3，0）與y軸平行的直線，設(shè)R（﹣3，b），記n與x軸的交點(diǎn)為M，則RM=b，

∵S（﹣3，﹣6），

∴MS=6，

∴SR=RM+MS=b+6=PG，作PH⊥n于H，

∵∠2=60°，

∴GH=PG=（b+6），

∴MH=MG﹣HG=9﹣（b+6）=6﹣b，

∴P（6+b， b﹣6），

∵K是PR中點(diǎn)，

∴K（+b， b﹣3），

為了方便，記K（x，y），即x=+b，y=b﹣3，消去b得y=x﹣，

∴中點(diǎn)K在直線y=﹣上運(yùn)動(dòng)，

由消去y得到x2+6x﹣27=0，

∴x=3或﹣9（舍棄），

∴x=3，代入x=+b得到b=2，

∴RM=2，DM=RM﹣RD=2﹣=，

∵﹣3=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（， ）．