Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，點(diǎn)D是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是線段DE上的點(diǎn)，且QE=2DQ，連接BQ并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)P．設(shè)BD=x，AP=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域；
（2）當(dāng)△PQE是等腰三角形時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（3）連接CQ，當(dāng)∠CQB和∠CBD互補(bǔ)時(shí)，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，

過點(diǎn)D作DF∥AC，交BP于F，則

根據(jù)QE=2DQ，可得

= ，

又∵DE∥BC，

∴ =1，

∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，

∵DF∥AC，

∴ ，即 = ，

∴y= ，定義域?yàn)椋?＜x＜3；

（2）解：∵DE∥BC，

∴△PEQ∽△PBC，

∴當(dāng)△PEQ為等腰三角形時(shí)，△PBC也為等腰三角形，

①當(dāng)PB=BC時(shí)，△ABC∽△BPC，

∴BC2=CPAC，即4=3（3﹣y），

解得y= ，

∴ = ，

解得x= =BD；

②當(dāng)PC=BC=2時(shí)，AP=y=1，

∴ =1，

解得x= =BD；

③當(dāng)PC=PB時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不合題意；

（3）解：∵DE∥BC，

∴∠BDQ+∠CBD=180°，

又∵∠CQB和∠CBD互補(bǔ)，

∴∠CQB+∠CBD=180°，

∴∠CQB=∠BDQ，

∵BD=CE，

∴四邊形BCED是等腰梯形，

∴∠BDE=∠CED，

∴∠CQB=∠CED，

又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，

∴∠DQB=∠ECQ，

∴△BDQ∽△QEC，

∴ ，即2DQ2=x2，

∴DQ= ，DE= ，

∵DE∥BC，

∴ ，即 = ，

解得x= ．

【解析】（1）過點(diǎn)D作DF∥AC，交BP于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，進(jìn)而根據(jù)DF∥AC，求得y= ，定義域?yàn)椋?＜x＜3；（2）當(dāng)△PEQ為等腰三角形時(shí)，△PBC也為等腰三角形，分三種情況討論：①當(dāng)PB=BC時(shí)，②當(dāng)PC=BC=2時(shí)，③當(dāng)PC=PB時(shí)，分別求得BD的長(zhǎng)即可；（3）先根據(jù)已知條件判定四邊形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出 ，即2DQ2=x2 ， 再根據(jù)DE∥BC，得出 ，即 = ，求得x的值即可．
【考點(diǎn)精析】掌握等腰梯形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答本題的根本，需要知道等腰梯形的兩腰相等；同一底上的兩個(gè)角相等；兩條對(duì)角線相等；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．