Question

下面兩題任選一題
（1）求證：三角形一邊上的中線小于另外兩邊之和的一半．
（2）求證：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和是一個定值．

Answer 1

（1）證明：延長AD到E，使AD=DE，連接BE．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDA，AD=DE，
∴△ACD≌△EBD，
∴BE=AC，
∵AB+BE＞AE，AE=AD+DE=2AD，
∴AB+AC＞2AD，
∴AD＜（AB+AC）．

（2）證明：連接AD．
∵AB=AC
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=AB×ED+AC×FD=×AB×（ED+FD）
∵S_△ABC=AB×AB邊上的高
∴ED+FD=AB邊上的高
∴等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于定值．
分析：（1）延長AD到E，使AD=DE，連接BE，根據SAS判定△ACD≌△EBD，從而可得到BE=AC，再根據三角形三邊關系即可證得結論；
（2）連接AD，根據等腰三角形的性質可表示出S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD的值，再根據S_△ABC=AB×AB邊上的高，即可得到ED+FD=AB邊上的高，即等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于定值．
點評：此題主要考查等腰三角形的性質，三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質的綜合運用．