Question

如圖，直線l與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M（8，0），點(diǎn)N（0，6）．點(diǎn)P從點(diǎn)N出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿N?O方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿O→M的方向運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q達(dá)點(diǎn)M時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）設(shè)四邊形MNPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與l平行．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形PQMN的形狀不確定，因此可用△OMN的面積減去△OPQ的面積來求．△OMN的面積不難求出，而△OPQ中，可根據(jù)P、Q的速度，用時(shí)間t表示出OP，PQ的長，然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求出△OPQ的面積．由此可得出四邊形的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．t的取值范圍可根據(jù)Q與O，M兩點(diǎn)不重合（重合時(shí)不能得出四邊形PQMN）來求出．
（2）當(dāng)PQ∥MN時(shí)，△OPQ∽△ONM，那么可得出關(guān)于OP，ON，OQ，OM的比例關(guān)系式．用t表示出OP、OQ后，可根據(jù)比例關(guān)系式求出t的值．

解答：解：（1）依題意，運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為t=

8

2

=4秒，要形成四邊形MNPQ，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為0＜t＜4．（1分）
當(dāng)P點(diǎn)在線段NO上運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，
OP=6-t，OQ=2t
∴S_△POQ=

1

2

OP•OQ=-t²+6t
此時(shí)四邊形MNPQ的面積
S=S_△MON-S_△POQ
=

1

2

×8×6-（-t²+6t）
=t²-6t+24
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S=t²-6t+24．（0＜t＜4）

（2）當(dāng)PQ與l平行時(shí)，△NOM∽△POQ

MO

QO

=

NO

PO

即

8

2t

=

6

6-t

∴10t=24，即t=2.4
∴當(dāng)t=2.4秒時(shí)，PQ與l平行．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．