如圖所示，直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）．

（1）求直線BD和拋物線的解析式．
（2）若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S△PBD=6?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（1）直線BD的解析式為：y=﹣x+3，拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3；
（2）滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；
（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使S△PBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣1，8）．

解析試題分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式；
（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形．如答圖1所示，符合條件的點(diǎn)N有3個(gè)；
（3）如答圖2、答圖3所示，解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式，然后根據(jù)S△PBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解．
試題解析：（1）∵直線l：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，∴C（1，0）．
設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，
∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，
∴，
解得k=﹣1，b=3，
∴直線BD的解析式為：y=﹣x+3．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，
∴3=a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；
（2）拋物線的解析式為：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．
直線BD：y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，
∴M（2，1）．
設(shè)對稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MF=1，
∴△MCD為等腰直角三角形．
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，
∴△BND為等腰直角三角形．
如答圖1所示：

（I）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O，
∴N1（0，0）；
（II）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，
∵OB=OD=ON2=3，
∴N2（﹣3，0）；
（III）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，
∵OB=OD=ON3=3，
∴N3（0，﹣3）．
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使S△PBD=6，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）．
（I）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí)，如答圖2所示：

過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n，DE=m﹣3．
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，
化簡得：m+n="7" ①，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，
解得：m1=4，m2=﹣1，
∴n1=3，n2=8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí)，如答圖3所示：

過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，
化簡得：m+n=﹣1 ②，
∵P（m，n）在拋物線上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程無解．
故此時(shí)點(diǎn)P不存在．
綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使S△PBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（﹣1，8）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（11分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（4，5）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點(diǎn)M是拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=﹣x+n與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)過C、B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)A，連接AC，且tan∠CAO=3．
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交拋物線于Q，設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，線段PQ的長為d，求出d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)PH=e，已知d，e是以y為未知數(shù)的一元二次方程：y2－(m+3)y+(5m2－2m+13)="0" (m為常數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)M在拋物線上，連接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，拋物線y＝x2－2x＋c的頂點(diǎn)A在直線l：y＝x－5上．

(1)求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè))，試判斷△ABD的形狀．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)中，對稱軸平行于y軸的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）；Rt△ABC的直角邊BC在x軸上，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），且BC=5，AC=3（如圖1）．

圖1                             圖2
（1）求出該拋物線的解析式；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移，當(dāng)點(diǎn)A落在（1）中所求拋物線上時(shí)Rt△ABC停止移動(dòng)．D（0，4）為y軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m，△DAB的面積為s．
①分別求出點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)、右側(cè)（含原點(diǎn)O）時(shí)，s與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量m的取值范圍（可在圖1、圖2中畫出探求）；
②當(dāng)點(diǎn)B位于原點(diǎn)左側(cè)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使得△DAB為直角三角形?若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）．動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t≤5）．以P為圓心，PA長為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連接CD、QC．

（1）求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？
（2）設(shè)△QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請直接寫出t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），與y軸交于C（，）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP’C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP’C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 ABPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

 已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，二次函數(shù)y=-2x²+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-3,0）和點(diǎn)B（0,6）。（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖像向右平移5個(gè)單位后的頂點(diǎn)設(shè)為C，直線BC與x軸相交于點(diǎn)D,求∠sin∠ABD；（3）在第（2）小題的條件下，連接OC，試探究直線AB與OC的位置關(guān)系，并且說明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B，其中點(diǎn)B在第一象限，且OA=OB，cot∠BAO=2．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）過點(diǎn)B作直線BC平行于x軸，直線BC與二次函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為C，聯(lián)結(jié)AC，如果點(diǎn)P在x軸上，且△ABC和△PAB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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