Question

如圖△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠GCA的平分線于點(diǎn)F．

（1）說明 EO=FO．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，四邊形AECF是矩形？說明你的結(jié)論．

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，AC與BC具有怎樣的關(guān)系時(shí)，四邊形AECF是正方形？為什么？

 

 

Answer 1

【解析】
（1）∵M(jìn)N∥BC，

∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，

∵CE，CF分別為∠BOC，∥GOC的角平分線，

∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，

∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，

∴OC=OE，OC=OF，

∴OE=OF，
（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，

理由：∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，

∴OA=OC，

∵OE=OF，OC=OE=OF，

∴OA=OC=OE=OF，

∴AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形，

（3）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥BC時(shí)，四邊形AECF是正方形，

理由：∵O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，

∴AC=EF，

∵AC⊥BC，MN∥BC，

∴AC⊥EF，

∴四邊形AECF是正方形．

 

【解析】

（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通過等量代換即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可確定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；

（2）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，根據(jù)矩形的判定定理（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形為矩形），結(jié)合（1）所推出的結(jié)論，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可確定四邊形AECF為矩形；

（3）當(dāng)O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AC⊥BC時(shí)，四邊形AECF是正方形，根據(jù)（2）所推出的結(jié)論，由AC⊥BC，MN∥BC，確定AC⊥EF，即可推出結(jié)論．