【題目】已知,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠ACB=∠EDF=90°,∠A=30°,∠E=45°,AB=EF=6,如圖1,D是斜邊AB的中點,將等腰Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°<α<90°),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線DE,AC相交于點M,直線DF,BC相交于點N.
(1)如圖1,當(dāng)α=60°時,求證:DM=BN;
(2)在上述旋轉(zhuǎn)過程中,的值是一個定值嗎?請在圖2中畫出圖形并加以證明;
(3)如圖3,在上述旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點C落在斜邊EF上時,求兩個三角形重合部分四邊形CMDN的面積.
【答案】(1)詳見解析;(2),是一個定值;(3)
【解析】
(1)利用ASA證,從而得出;
(2)如下圖,先證,得出,然后在,利用tan∠B得出的值,最后得出的值;
(3)如下圖,先證點C是EF的中點,然后利用平分可推導(dǎo)出四邊形為正方形,從而得出,進而得出面積.
解:(1)由題意,∵,,∴,
∴,,
∵點是斜邊的中點,∴,
∴,∴.
(2),是一個定值.
證明:如圖1,作于點,于點,∴,
又∵,∴,
∴,∴,
在中,,∴tan∠B
又由(1)可知:,
∴,
∴.
(3)連接,作于點,于點,
在中,點是的中點,∴,
∵,∴,∵,∴是中點,
∴平分,,
∵,,∴,
∵,
∴四邊形為正方形,,
∴,∴,
∴四邊形正方形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近日,某中學(xué)舉辦了一次以“弘揚傳統(tǒng)文化”為主題的漢字聽寫比賽,初一和初二兩個年級各有600名學(xué)生參加,為了更好地了解本次比賽成績的分布情況,學(xué)校分別從兩個年級隨機抽取了若干名學(xué)生的成績作為樣本進行分析,下面是初二年級學(xué)生成績樣本的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖(不完整,每組分數(shù)段中的分數(shù)包括最低分,不包括最高分)
初二學(xué)生樣本成績頻數(shù)分布表 | ||
分組/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50~60 | 2 | |
60~70 | 4 | 0.10 |
70~80 | 0.20 | |
80~90 | 14 | 0.35 |
90~100 | ||
合計 | 40 | 1.00 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)補全成績頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖.
(2)若初二學(xué)生成績樣本中80~90分段的具體成績?yōu)椋?/span>
80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89
①根據(jù)上述信息,估計初二學(xué)生成績的中位數(shù)為__________.
②若初一學(xué)生樣本成績的中位數(shù)為80,甲同學(xué)在比賽中得到了82分,在他所在的年級中位居275名,根據(jù)上述信息推斷甲同學(xué)所在年級為__________(選填“初一”或者“初二”).
③若成績在85分及以上均為“優(yōu)秀”,請你根據(jù)抽取的樣本數(shù)據(jù),估計初二年級學(xué)生中達到“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為__________人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點,點為軸正半軸上一點,且,的面積是,則_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如表:
下列結(jié)論:拋物線的開口向上;②拋物線的對稱軸為直線;③當(dāng)時,;④拋物線與軸的兩個交點間的距離是;⑤若是拋物線上兩點,則,其中正確的個數(shù)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是等腰三角形,AB=AC.
(1)特殊情形:如圖1,當(dāng)DE∥BC時,有DB EC.(填“>”,“<”或“=”)
(2)發(fā)現(xiàn)探究:若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)到圖2位置,則(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展運用:如圖3,P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點,∠ACB=90°,且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為了了解在校學(xué)生對校本課程的喜愛情況,隨機調(diào)查了九年級學(xué)生對A,B,C,D,E五類校本課程的喜愛情況,要求每位學(xué)生只能選擇一類最喜歡的校本課程,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下的兩個統(tǒng)計圖.
請根據(jù)圖中所提供的信息,完成下列問題:
(1)本次被調(diào)查的學(xué)生的人數(shù)為 ;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)扇形統(tǒng)計圖中,C類所在扇形的圓心角的度數(shù)為 ;
(4)若該中學(xué)有4000名學(xué)生,請估計該校喜愛C,D兩類校本課程的學(xué)生共有多少名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB為邊作等邊三角形 ABE.點F是對角線BD上一動點(點F不與點B重合),將線段AF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AM,連接FM.
(1)求AO的長;
(2)如圖2,當(dāng)點F在線段BO上,且點M,F(xiàn),C三點在同一條直線上時,求證:AC=AM;
(3)連接EM,若△AEM的面積為40,請直接寫出△AFM的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在筆山銀子巖坡頂處的同一水平面上有一座移動信號發(fā)射塔,
筆山職中數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底處測得該塔的塔頂的仰角為,然后他們沿著坡度為的斜坡攀行了米,在坡頂處又測得該塔的塔頂的仰角為.求:
坡頂到地面的距離;
移動信號發(fā)射塔的高度(結(jié)果精確到米).
(參考數(shù)據(jù):,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中,為的中點,將沿翻折得到,延長交于G,,垂足為H,連接,.以下結(jié)論:①;②;③;④;其中正確的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
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