【題目】如圖1,在四邊形ABCD中,AD∥BC,DB=DC=EC,∠A=2∠ADB,AD=m,AB=n.
(1)在圖1中找出與∠ABD相等的角,并加以證明;
(2)求BE的長;
(3)將△ABD沿BD翻折,得到△A′BD.若點(diǎn)A′恰好落在EC上(如圖2),求的值.
【答案】(1)見解析 ( 2) (3)
【解析】(1)由平行線的性質(zhì)知∠DBC=∠ADB,由DB=DC,得出∠DCB=∠DBC=∠ADB,由DC=EC,得出∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE,再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果;
(2)在BC上取一點(diǎn)F,使CF=AB=n,連接EF,由SAS證得△ABD≌△FCE,得出∠EFC=∠DAB=2∠ADB,∠FEC=∠ADB,EF=AD=m,推出∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF,BF=EF=m,BC=BF+FC=m+n,再由△EBC∽△ADB,得出==,代入數(shù)值即可得出結(jié)果;
(3)由折疊性質(zhì)知A′B=AB=n,∠A′BE=∠ABE,由△A′EB∽△BEC,得出==,代入數(shù)值即可得出結(jié)果.
解:(1)∠BCE=∠ABD,理由如下:
∵AD∥BC,
∴∠DBC=∠ADB,
∵DB=DC,
∴∠DCB=∠DBC=∠ADB,
∵DC=EC,
∴∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE,
∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°,即∠ADB+∠ADB+(∠ADB+∠BCE)=3∠ADB+∠BCE=180°,
又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,∠A=2∠ADB,
∴3∠ADB+∠ABD=180°,
∴∠BCE=∠ABD;
(2)在BC上取一點(diǎn)F,使CF=AB=n,連接EF,如圖1所示:
由(1)知:∠ABD=∠FCE,
在△ABD和△FCE中,,
∴△ABD≌△FCE(SAS),
∴∠EFC=∠DAB=2∠ADB,∠FEC=∠ADB,EF=AD=m,
∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF,
∴BF=EF=m,BC=BF+FC=m+n,
∵∠EBC=∠ADB,∠BCE=∠DBA,
∴△EBC∽△ADB,
∴==,即: ==,
∴DB=,
∴BE=;
(3)∵將△ABD沿BD翻折,得到△A′BD,點(diǎn)A′恰好落在EC上,
∴A′B=AB=n,∠A′BE=∠ABE,
由(1)知:∠ABE=∠BCE,
∴∠A′BE=∠BCE,
∵∠A′EB=∠BEC,
∴△A′EB∽△BEC,
∴==,即: =,
整理得:m2+mn﹣n2=0,即()2+﹣1=0,
解得: =(負(fù)值舍去),
∴=.
“點(diǎn)睛”本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等知識;熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 x2 m 1 x 16 可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解,則m _________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上.
①作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1 , 并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo);②在y軸上找點(diǎn)D,使得AD+BD最小,作出點(diǎn)D并寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下列解題過程,然后回答問題.
計(jì)算: ÷ ·(9-x2).
解:原式= ÷ ·(3-x)(3+x) 第一步
= · ·(3-x)(3+x) 第二步
=1. 第三步
(1)上述計(jì)算過程中,第一步使用的公式用字母表示為;
(2)第二步使用的運(yùn)算法則用字母表示為;
(3)由第二步到第三步進(jìn)行了分式的;
(4)以上三步中,第步出現(xiàn)錯誤,正確的化簡結(jié)果是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.3個以上
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,等邊三角形ABC中,點(diǎn)D在AB上(點(diǎn)D與點(diǎn)A,B不重合),DE⊥BC,垂足為E,點(diǎn)P在BC上,且DP∥AC,△B′DE′與△BDE關(guān)于DP對稱.設(shè)BE=x,△B′DE′與△ABC重疊部分的面積為S,S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0<x<, ≤x<m與m≤x<n時(shí),函數(shù)的解析式不同).
(1)填空:等邊三角形ABC的邊長為_____,圖2中a的值為_____;
(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,小華和小麗兩人玩游戲,她們準(zhǔn)備了A、B兩個分別被平均分成三個、四個扇形的轉(zhuǎn)盤.游戲規(guī)則:小華轉(zhuǎn)動A盤、小麗轉(zhuǎn)動B盤.轉(zhuǎn)動過程中,指針保持不動,如果指針恰好指在分割線上,則重轉(zhuǎn)一次,直到指針指向一個數(shù)字所在的區(qū)域?yàn)橹梗畠蓚轉(zhuǎn)盤停止后指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于6,小華獲勝.指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于6,小麗獲勝.
(1)用樹狀圖或列表法求小華、小麗獲勝的概率;
(2)這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?請判斷并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將(a﹣1)2﹣1分解因式,結(jié)果正確的是( )
A.a(a﹣1)
B.a(a﹣2)
C.(a﹣2)(a﹣1)
D.(a﹣2)(a+1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2(m是常數(shù),且m≠0)的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
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