Question

【題目】如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿著直線l滾動(dòng)．

(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A1B1C1的位置，此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為　 　；約為　　；(精確到0.1，π＝3.14…)

(2)設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置為C′，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置為A′．請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)＝(tanα+tanβ)÷(1﹣tanαtanβ)，求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)8.37758；8.4；(2)∠CAC′+∠CAA′＝30°．

【解析】

（1）由圖形可以看出，△ABC滾動(dòng)的軌跡正好為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng)；
（2）先求出正三角形的高，再利用三角函數(shù)求出tan∠CAC’與tan∠CAA′的值，然后通過(guò)等量代換求出∠CAC′＋∠CAA′的度數(shù)．

(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A1B1C1的位置，此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng)，

即A點(diǎn)的路程長(zhǎng)為：2××2×3.14×2＝8.37758；

約為8.4．

(2)設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí)，C點(diǎn)的位置為C’，△ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置為A′．

∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2

∴正△ABC的高為

tan∠CAC′＝

tan∠CAA′＝＝

所以：由公式tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)÷(1﹣tanαtanβ)，

得：tan(∠CAC′＋∠CAA′)

＝(tan∠CAC′＋tan∠CAA′)÷(1﹣tan∠CAC′tan∠CAA′)

＝(＋)÷(1﹣×)

＝．

所以：∠CAC′＋∠CAA′＝30°．